Задание 19 ЕГЭ: Числа и их свойства

1. Задача 1Записаны 10 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое любых 5 из них является целым. а) Обязательно ли все числа имеют одинаковый остаток при…
2. Задача 2Различные натуральные числа a<b удовлетворяют 1/a+1/b=1/18. а) Найдите значение (a−18)(b−18). б) Может ли a равняться 36? в) Найдите наименьшее возможное…
3. Задача 3Для натурального n положим P=n⁵−n. а) Докажите, что P делится на 30. б) Найдите все остатки n modulo 77, при которых P делится на 2310. в) Найдите наименьшее…
4. Задача 4Натуральное N при делении на 11 даёт остаток 3, а при делении на 13 — остаток 5. а) Найдите наименьший положительный период множества таких N. б) Найдите…
5. Задача 5Натуральные a<b удовлетворяют НОД(a,b)=2 и НОК(a,b)=210. а) Сколько существует неупорядоченных пар {a,b}? б) Найдите наименьшее значение a+b. в) Укажите пару,…
6. Задача 6Шестизначный палиндром N=abccba составлен из попарно различных цифр a,b,c; сумма его цифр равна 18. Кроме того, N делится на 7. а) Докажите, что N всегда…
7. Задача 7Каждую из цифр 0, 1, 2, 3 используют ровно один раз для записи натурального числа (ноль не может стоять первым). а) Сколько полученных чисел делится на 11? б)…
8. Задача 8Натуральные x>y удовлетворяют x²−y²=945. а) Сколько существует пар (x,y)? б) Найдите наименьшее возможное значение x+y. в) Укажите пару множителей (x−y, x+y),…
9. Задача 9Положительные целые x,y удовлетворяют 7x+11y=300. а) Сколько существует решений? б) Найдите наименьшее значение x+y. в) Найдите наибольшее значение xy.
10. Задача 10Последовательность задана F₁=F₂=1, Fₙ₊₂=Fₙ₊₁+Fₙ. Рассматриваются остатки modulo 5. а) Найдите наименьший период пар соседних остатков. б) Найдите первый n,…
11. Задача 11Натуральное число N делится на 6, имеет ровно 15 положительных делителей и не имеет простых делителей, кроме p и q. а) Обязательно ли N является полным…
12. Задача 12Через Rₖ обозначено число из k подряд записанных единиц: Rₖ=(10ᵏ−1)/9. а) Найдите наименьшее k, при котором Rₖ делится на 7. б) Сколько значений k от 1 до 40…
13. Задача 13Записаны 20 различных натуральных чисел. Их среднее арифметическое равно 25. а) Может ли среди них быть число 1? б) Каково наибольшее возможное значение…
14. Задача 14В клетках таблицы 3×3 записаны числа. За один ход разрешается прибавить 1 ко всем трём числам какой-либо одной строки или какого-либо одного столбца. а) Можно…
15. Задача 15В двух группах вместе 20 учеников, каждый из них набрал за тест натуральное число баллов. Одного ученика перевели из первой группы во вторую, после чего…
16. Задача 16Дано 11 различных натуральных чисел, их среднее арифметическое равно 20. Медианой набора называется число, которое стоит посередине, если числа упорядочить по…
17. Задача 17Из набора натуральных чисел 1, 2, 3, …, n вычеркнули одно число. а) Может ли при n=16 среднее арифметическое оставшихся чисел быть равным 8,6? б) Может ли при…
18. Задача 18Даны десять чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, записанных на доске. За один ход выбирают два числа x и y, стирают их и записывают одно число xy + x + y. а)…
19. Задача 19На доске написаны 12 чисел: 5, 6, 7, …, 16. Их разбивают на несколько групп, в каждой из которых хотя бы одно число, так, чтобы суммы чисел во всех группах…
20. Задача 20Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и все их возможные суммы (по два, по три и т. д.) выписывают на доску в порядке…
21. Задача 21Несколько натуральных чисел (не обязательно различных) таковы, что их произведение равно их сумме. а) Может ли таких чисел быть пять, причём ровно два из них…
22. Задача 22Дан набор из нескольких различных натуральных чисел. Если из него удалить наибольшее число, то среднее арифметическое уменьшится на 1, а если удалить…
23. Задача 23Каждое из 25 чисел равно 1, 2 или 3, а их среднее арифметическое равно 2,24. а) Может ли среди этих чисел не быть ни одной единицы? б) Может ли количество…
24. Задача 24Ученик готовился к экзамену 11 дней подряд и каждый день решал хотя бы одну задачу. Оказалось, что за любые три дня подряд он решил в сумме не более 30 задач.…
25. Задача 25По кругу записаны n целых неотрицательных чисел. За один ход каждое число одновременно заменяют модулем разности этого числа и следующего за ним по часовой…
26. Задача 26Несократимую дробь a/b (a и b — натуральные числа) изменили: к её числителю и к её знаменателю прибавили по 1. а) Может ли новая дробь оказаться больше…
27. Задача 27Сумма цифр натурального числа N равна 30. а) Может ли сумма квадратов цифр числа N быть равной 206? б) Может ли сумма квадратов цифр числа N быть равной 135?…
28. Задача 28В коробке лежат 29 шаров: 10 красных, 8 синих, 6 зелёных и 5 белых. Шары вынимают из коробки не глядя. а) Можно ли вынуть 20 шаров так, чтобы среди них не…
29. Задача 29Для натуральных чисел a, b и c рассматривают НОД(a, b), НОД(b, c) и НОД(a, c). а) Существуют ли такие a, b, c, что НОД(a, b) = 2, НОД(b, c) = 3 и НОД(a, c) =…
30. Задача 30Для двузначного натурального числа, в записи которого нет нуля, вычисляют отношение этого числа к произведению его цифр. а) Может ли это отношение равняться…
31. Задача 31Последовательность натуральных чисел a₁, a₂, …, aₙ такова, что a₁ = 1, а каждый следующий член больше предыдущего либо на 1, либо на 3. а) Может ли сумма…
32. Задача 32Члены конечной возрастающей арифметической прогрессии — натуральные числа, сумма всех её членов равна 280. а) Может ли прогрессия состоять из 7 членов? б)…
33. Задача 33Рассматриваются натуральные числа, в десятичной записи которых встречаются только цифры 1 и 2. а) Существует ли такое пятизначное число, делящееся на 32? б)…
34. Задача 34Через n! обозначают произведение 1·2·3·…·n. а) Существует ли натуральное n, для которого десятичная запись числа n! оканчивается ровно 31 нулём? б) Существует…
35. Задача 35Натуральное число n поочерёдно разделили с остатком на 3, на 4, на 6 и на 10 и сложили четыре полученных остатка. а) Может ли сумма остатков равняться 15? б)…
36. Задача 36Произведение цифр натурального числа N равно 1260. а) Может ли сумма цифр числа N быть равной 25? б) Может ли сумма цифр числа N быть равной 20? в) Сумма цифр…
37. Задача 37В компании 8 человек каждый может пожать руку каждому другому не более одного раза. а) Возможно ли, что каждый пожал руку ровно одному человеку? б) Возможно…
38. Задача 38В классе учатся мальчики и девочки. За контрольную работу каждый ученик получил одну из отметок 2, 3, 4 или 5. Средняя отметка мальчиков оказалась равна 3,4,…
39. Задача 39Имеются три кучки камней: в первой 10 камней, во второй 11, в третьей 12. За один ход разрешается взять по одному камню из каких-либо двух непустых кучек и…
40. Задача 40Есть неограниченное число монет достоинством 4 и 5 рублей; сдачу получать нельзя. а) Можно ли набрать 10 рублей? б) Можно ли набрать 11 рублей? в) Найдите…
41. Задача 41На доске написано 33 целых числа. Среднее арифметическое всех чисел равно −2, среднее арифметическое положительных чисел равно 5, а среднее арифметическое…
42. Задача 42В турнире участвовали 8 команд, каждая сыграла с каждой ровно один раз. За победу команда получает 2 очка, за ничью — 1 очко, за поражение — 0 очков. а) Могли…
43. Задача 43Из шестизначного натурального числа N вычеркнули одну цифру и получили пятизначное число M (запись M не начинается с нуля). а) Может ли сумма N + M равняться…
44. Задача 44Рассматривают произведение 4 последовательных положительных целых чисел P=m(m+1)…(m+3). а) Докажите, что P делится на 24. б) Может ли P не делиться на 48? в)…
45. Задача 45По кругу записаны n целых чисел, и каждое из них равно сумме двух соседних с ним чисел. а) Может ли при n=12 среди записанных чисел быть число, отличное от…
46. Задача 46На доске написаны числа 1, 2, 3, …, 11. За один ход разрешается стереть любые два числа a и b и вместо них записать число |a − b|. После 10 таких ходов на…
47. Задача 47Рассматриваются представления натуральных чисел в виде суммы квадратов натуральных чисел. а) Можно ли представить число 2026 в виде суммы квадратов трёх…
48. Задача 48Трёхзначное натуральное число разделили на сумму его цифр. а) Может ли частное быть равным 40? б) Может ли частное быть равным 83? в) Найдите наименьшее…

Другие номера: №1 · №2 · №3 · №4 · №5 · №6 · №7 · №8 · №9 · №10 · №11 · №12 · №13 · №14 · №15 · №16 · №17 · №18