Условие
Натуральное N при делении на 11 даёт остаток 3, а при делении на 13 — остаток 5. а) Найдите наименьший положительный период множества таких N. б) Найдите наименьшее натуральное N. в) Найдите сумму всех четырёхзначных N с указанными остатками.
Подсказка
Шаг 1 для варианта 4: Разность любых двух решений делится и на 11, и на 13; числа взаимно просты.
Шаг 2 для варианта 4: Запишите N=3+11k, решите одно сравнение по модулю 13, затем выделите четырёхзначную арифметическую прогрессию.
Показать ответ
а) 143; б) 135; в) 340845
Пошаговое решение
- Намечаем ход решения
Разность любых двух решений делится и на 11, и на 13; числа взаимно просты. Запишите N=3+11k, решите одно сравнение по модулю 13, затем выделите четырёхзначную арифметическую прогрессию.
- Пункт а
а) Разность решений делится на 11 и 13, следовательно, на 143.
- Выполняем преобразование
Сдвиг на 143 сохраняет оба остатка, поэтому это наименьший период.
- Пункт б
б) Из N=3+11k получаем 11k≡2 (mod 13).
- Выполняем преобразование
Обратный элемент к 11 равен 6, поэтому k≡12 (mod 13), а наименьшее N=135.
- Пункт в
в) Четырёхзначные решения: 1136, 1279, …, 9859.
- Выполняем преобразование
Число членов 62; сумма равна 62·(1136+9859)/2=340845.
Ответ: а) 143; б) 135; в) 340845