Условие
Натуральное число N делится на 6, имеет ровно 15 положительных делителей и не имеет простых делителей, кроме p и q. а) Обязательно ли N является полным квадратом? б) Какие показатели степеней p и q возможны? в) Найдите наименьшее такое N.
Подсказка
Шаг 1 для варианта 11: Если N=p^αq^β, то число делителей равно (α+1)(β+1)=15.
Шаг 2 для варианта 11: Оба показателя положительны; сравните два числа p⁴q² и p²q⁴.
Показать ответ
а) да; б) 4 и 2; в) 144
Пошаговое решение
- Намечаем ход решения
Если N=p^αq^β, то число делителей равно (α+1)(β+1)=15. Оба показателя положительны; сравните два числа p⁴q² и p²q⁴.
- Вводим обозначения
Пусть N=p^αq^β, где α,β≥1.
- Выполняем преобразование
Тогда (α+1)(β+1)=15=3·5, поэтому показатели равны 2 и 4 в некотором порядке.
- Получаем следующий результат
Оба чётны, следовательно, N всегда полный квадрат.
- Выполняем преобразование
Возможны числа 2⁴·3²=144 и 2²·3⁴=324; меньшее из них равно 144.
Ответ: а) да; б) 4 и 2; в) 144