Условие
Дано 11 различных натуральных чисел, их среднее арифметическое равно 20. Медианой набора называется число, которое стоит посередине, если числа упорядочить по возрастанию (здесь — шестое число). а) Может ли медиана этого набора быть равной 10? б) Может ли медиана этого набора быть равной 32? в) Известно, что наименьшее из чисел равно 10. Найдите наибольшее возможное значение медианы.
Подсказка
Оцените снизу сумму шести чисел от медианы и выше, учитывая, что они различны.
Какой наименьшей может быть сумма пяти чисел ниже медианы при данном наименьшем числе?
Показать ответ
а) да, например 1, 2, 3, 4, 5, 10, 11, 12, 13, 14, 145; б) нет; в) 24
Пошаговое решение
- Записываем сумму и обозначения
Сумма чисел 11·20=220. Упорядочим: a₁<a₂<…<a₁₁, медиана m=a₆. Числа a₇, …, a₁₁ различны и больше m, поэтому a₆ + … + a₁₁ ≥ m + (m + 1) + … + (m + 5)=6m + 15.
- Пункт а
Набор 1, 2, 3, 4, 5, 10, 11, 12, 13, 14, 145: числа различны, медиана 10, сумма 15 + 10 + 50 + 145=220, среднее 20. Ответ: да.
- Пункт б
Пять наименьших различных натуральных чисел дают не меньше 1 + 2 + 3 + 4 + 5=15. При m=32 сумма не меньше 15 + 6·32 + 15=222>220. Ответ: нет.
- Пункт в: оценка
a₁=10, остальные четыре числа ниже медианы не меньше 11, 12, 13, 14: a₁ + … + a₅ ≥ 60. Тогда 220 ≥ 60 + 6m + 15, 6m ≤ 145, m ≤ 24 (m целое).
- Пункт в: пример и типичная ошибка
10, 11, 12, 13, 14, 24, 25, 26, 27, 28, 30: числа различны, медиана 24, сумма 60 + 130 + 30=220. Типичная ошибка — оценивать числа после медианы как равные медиане (6m ≤ 160, m ≤ 26), забыв, что все числа различны.
Ответ: а) да, например 1, 2, 3, 4, 5, 10, 11, 12, 13, 14, 145; б) нет; в) 24
Критерии оценивания (4 балла)
- 4
- Верно получены все четыре результата: (1) в п. а приведён пример набора с медианой 10 и суммой 220 (например, 1, …, 5, 10, …, 14, 145); (2) в п. б доказано, что при медиане 32 сумма не меньше 15 + 6·32 + 15=222>220; (3) в п. в получена оценка m ≤ 24 из 60 + 6m + 15 ≤ 220; (4) в п. в приведён пример с наименьшим числом 10 и медианой 24 (10, …, 14, 24, …, 28, 30).
- 3
- Верно получены три результата из четырёх: (1) в п. а приведён пример набора с медианой 10 и суммой 220 (например, 1, …, 5, 10, …, 14, 145); (2) в п. б доказано, что при медиане 32 сумма не меньше 15 + 6·32 + 15=222>220; (3) в п. в получена оценка m ≤ 24 из 60 + 6m + 15 ≤ 220; (4) в п. в приведён пример с наименьшим числом 10 и медианой 24 (10, …, 14, 24, …, 28, 30).
- 2
- Верно получены два результата из четырёх: (1) в п. а приведён пример набора с медианой 10 и суммой 220 (например, 1, …, 5, 10, …, 14, 145); (2) в п. б доказано, что при медиане 32 сумма не меньше 15 + 6·32 + 15=222>220; (3) в п. в получена оценка m ≤ 24 из 60 + 6m + 15 ≤ 220; (4) в п. в приведён пример с наименьшим числом 10 и медианой 24 (10, …, 14, 24, …, 28, 30).
- 1
- Верно получен один результат из четырёх: (1) в п. а приведён пример набора с медианой 10 и суммой 220 (например, 1, …, 5, 10, …, 14, 145); (2) в п. б доказано, что при медиане 32 сумма не меньше 15 + 6·32 + 15=222>220; (3) в п. в получена оценка m ≤ 24 из 60 + 6m + 15 ≤ 220; (4) в п. в приведён пример с наименьшим числом 10 и медианой 24 (10, …, 14, 24, …, 28, 30).
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.