Условие
Через Rₖ обозначено число из k подряд записанных единиц: Rₖ=(10ᵏ−1)/9. а) Найдите наименьшее k, при котором Rₖ делится на 7. б) Сколько значений k от 1 до 40 дают делимость Rₖ на 7? в) Найдите сумму всех таких k.
Подсказка
Шаг 1 для варианта 12: Так как НОД(9,7)=1, условие равносильно 10ᵏ≡1 (mod 7).
Шаг 2 для варианта 12: Найдите мультипликативный порядок 10; все подходящие показатели кратны ему.
Показать ответ
а) 6; б) 6; в) 126
Пошаговое решение
- Намечаем ход решения
Так как НОД(9,7)=1, условие равносильно 10ᵏ≡1 (mod 7). Найдите мультипликативный порядок 10; все подходящие показатели кратны ему.
- Выполняем преобразование
Делимость Rₖ на 7 равносильна 10ᵏ≡1 (mod 7), поскольку 9 обратимо по этому модулю.
- Выполняем преобразование
Последовательные остатки 10,10²,… равны 3, 2, 6, 4, 5, 1; впервые 1 появляется при k=6.
- Выполняем преобразование
Значит, подходят ровно кратные 6.
- Выполняем преобразование
До 40 их 6, а сумма равна 6(1+…+6)=126.
Ответ: а) 6; б) 6; в) 126