Условие
Записаны 20 различных натуральных чисел. Их среднее арифметическое равно 25. а) Может ли среди них быть число 1? б) Каково наибольшее возможное значение самого большого из записанных чисел? в) Каково наименьшее возможное значение самого большого из записанных чисел?
Подсказка
Сначала найдите сумму всех чисел.
Чтобы одно число было как можно больше, минимизируйте сумму остальных.
Для нижней границы максимума ограничьте сумму двадцати наибольших чисел, не превосходящих M.
Показать ответ
а) Да; б) 310; в) 35.
Пошаговое решение
- Переходим от среднего к сумме
Сумма двадцати чисел равна 20·25=500. Все числа положительные целые и попарно различны.
- Строим пример для пункта а
Возьмём числа 1,2,…,19 и 310. Сумма первых девятнадцати равна 19·20/2=190; вместе с 310 получаем 500. Все 20 чисел различны, поэтому число 1 может присутствовать.
- Оцениваем максимум сверху в пункте б
Обозначим самое большое число M. Остальные 19 различных натуральных чисел имеют сумму не меньше 1+2+…+19=190. Следовательно, M≤500−190=310.
- Доказываем достижимость верхней границы
Пример из пункта а имеет наибольшее число 310, значит верхняя оценка достигнута. Ответ пункта б — 310.
- Оцениваем максимум снизу в пункте в
Если все 20 различных натуральных чисел не превосходят M, их сумма не превосходит суммы 20 наибольших чисел от 1 до M: M+(M−1)+…+(M−19)=20M−190. Поэтому 500≤20M−190, то есть M≥34,5. Так как M целое, M≥35.
- Строим пример, достигающий нижнюю границу
Возьмём все целые числа от 15 до 35 включительно, кроме 25. Всего 21−1=20 различных натуральных чисел. Их сумма (15+35)·21/2−25=525−25=500, а наибольшее число 35.
- Завершаем доказательство оптимальности
Любой допустимый набор имеет максимум не меньше 35, и набор с максимумом 35 построен. Следовательно, в пункте в ответ 35. Для обоих экстремумов приведены и оценка, и достигающий её пример.
Ответ: а) Да; б) 310; в) 35.
Критерии оценивания (4 балла)
- 4
- Обоснованы все три пункта: корректный пример в а и оценки с достижимостью для обоих экстремумов.
- 3
- Обоснован пункт в и один из пунктов а, б, либо оба первых пункта и один из двух элементов пункта в: нижняя оценка или достигающий её пример.
- 2
- Обоснованы а и б; либо полностью обоснован в; либо обоснован один из пунктов а, б и один из двух элементов пункта в.
- 1
- Полностью обоснован а или б; либо в пункте в приведена верная нижняя оценка или допустимый достигающий её пример.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.