Условие
Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и все их возможные суммы (по два, по три и т. д.) выписывают на доску в порядке возрастания; если какое-то число получается несколько раз, его записывают на доске один раз. а) Может ли на доске оказаться набор 3, 5, 8, 10, 13, 15, 18, 20, 23, 25, 28, если задумано ровно 4 числа? б) Может ли на доске оказаться набор 2, 4, 5, 7, 9, 11, 13? в) На доске оказался набор 3, 5, 8, 10, 13, 15, 18, 20, 23, 25, 28. Найдите наибольшее возможное количество задуманных чисел.
Подсказка
Какое число на доске равно сумме всех задуманных? Что тогда можно сказать о числе S − s для числа s на доске?
Может ли наименьшее задуманное число повторяться, если удвоенного его значения на доске нет?
Показать ответ
а) да, например 3, 5, 10, 10; б) нет; в) 6
Пошаговое решение
- Наблюдения о наборе на доске
Наибольшее число на доске — сумма S всех задуманных чисел, наименьшее — наименьшее задуманное. Если s<S — сумма части чисел, то сумма остальных S − s тоже на доске.
- Пункт а
Задумаем 3, 5, 10, 10. Суммы: 3, 5, 10, 8 (3 + 5), 13 (3 + 10), 15 (5 + 10), 20 (10 + 10), 18 (3 + 5 + 10), 23 (3 + 10 + 10), 25 (5 + 10 + 10), 28 (все). На доске ровно 3, 5, 8, 10, 13, 15, 18, 20, 23, 25, 28. Ответ: да.
- Пункт б
Здесь S=13. На доске есть 5<13, значит, должно быть и 13 − 5=8, а числа 8 на доске нет. Ответ: нет.
- Пункт в: оценка
S=28, наименьшее задуманное 3. Тройка задумана один раз: иначе на доске было бы 3 + 3=6. Числа 4 на доске нет, поэтому каждое из остальных задуманных чисел не меньше 5. Если задумано k чисел, то 28 ≥ 3 + 5(k − 1), откуда k ≤ 6.
- Пункт в: пример и типичная ошибка
Задумаем 3, 5, 5, 5, 5, 5: суммы пятёрок 5, 10, 15, 20, 25 и с тройкой 8, 13, 18, 23, 28 — ровно набор с доски, задумано 6 чисел. Типичная ошибка — оценка k ≤ 28/3, то есть 9 чисел, без учёта того, что тройка не может повторяться.
Ответ: а) да, например 3, 5, 10, 10; б) нет; в) 6
Критерии оценивания (4 балла)
- 4
- Верно получены все четыре результата: (1) в п. а приведены 4 задуманных числа (например, 3, 5, 10, 10) и выписаны все их суммы; (2) в п. б по симметрии s ↔ S − s доказано, что набор невозможен (есть 5, но нет 8); (3) в п. в получена оценка k ≤ 6: тройка одна, остальные не меньше 5, 3 + 5(k − 1) ≤ 28; (4) в п. в приведён пример из 6 задуманных чисел 3, 5, 5, 5, 5, 5.
- 3
- Верно получены три результата из четырёх: (1) в п. а приведены 4 задуманных числа (например, 3, 5, 10, 10) и выписаны все их суммы; (2) в п. б по симметрии s ↔ S − s доказано, что набор невозможен (есть 5, но нет 8); (3) в п. в получена оценка k ≤ 6: тройка одна, остальные не меньше 5, 3 + 5(k − 1) ≤ 28; (4) в п. в приведён пример из 6 задуманных чисел 3, 5, 5, 5, 5, 5.
- 2
- Верно получены два результата из четырёх: (1) в п. а приведены 4 задуманных числа (например, 3, 5, 10, 10) и выписаны все их суммы; (2) в п. б по симметрии s ↔ S − s доказано, что набор невозможен (есть 5, но нет 8); (3) в п. в получена оценка k ≤ 6: тройка одна, остальные не меньше 5, 3 + 5(k − 1) ≤ 28; (4) в п. в приведён пример из 6 задуманных чисел 3, 5, 5, 5, 5, 5.
- 1
- Верно получен один результат из четырёх: (1) в п. а приведены 4 задуманных числа (например, 3, 5, 10, 10) и выписаны все их суммы; (2) в п. б по симметрии s ↔ S − s доказано, что набор невозможен (есть 5, но нет 8); (3) в п. в получена оценка k ≤ 6: тройка одна, остальные не меньше 5, 3 + 5(k − 1) ≤ 28; (4) в п. в приведён пример из 6 задуманных чисел 3, 5, 5, 5, 5, 5.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.