Условие
Дан набор из нескольких различных натуральных чисел. Если из него удалить наибольшее число, то среднее арифметическое уменьшится на 1, а если удалить наименьшее число, то среднее арифметическое увеличится на 1. а) Может ли в наборе быть 5 чисел? б) Может ли наименьшее число набора быть равным 10, а наибольшее — 25? в) Наибольшее число набора равно 40. Найдите наибольшее возможное количество чисел в наборе.
Подсказка
Выразите наибольшее и наименьшее число через среднее m и количество чисел n.
Чему равна разность наибольшего и наименьшего чисел? Какой она чётности?
Показать ответ
а) да, например 1, 3, 5, 7, 9; б) нет; в) 20
Пошаговое решение
- Выводим формулы для крайних чисел
Пусть в наборе n чисел, сумма S, среднее m=S/n, наибольшее M, наименьшее a. Удаление M: (S − M)/(n − 1)=m − 1, то есть S − M=nm − n − m + 1, откуда M=m + n − 1. Удаление a: S − a=(n − 1)(m + 1)=nm + n − m − 1, откуда a=m − n + 1. Следовательно, M − a=2n − 2.
- Пункт а
Набор 1, 3, 5, 7, 9: среднее 25/5=5. Без 9: 16/4=4=5 − 1; без 1: 24/4=6=5 + 1. Ответ: да.
- Пункт б
Из M − a=2n − 2 разность наибольшего и наименьшего чётна. Но 25 − 10=15 нечётно. Ответ: нет.
- Пункт в: оценка
M=40, значит, m=41 − n и a=m − n + 1=42 − 2n. Наименьшее число натуральное: 42 − 2n ≥ 1, откуда n ≤ 20,5, то есть n ≤ 20.
- Пункт в: пример и типичная ошибка
n=20: a=2, m=21, сумма 420. Набор 2, 3, …, 11, 31, 32, …, 40 разбивается на 10 пар с суммой 42 (2 + 40, 3 + 39, …, 11 + 31), сумма 420, среднее 21. Без 40: 380/19=20; без 2: 418/19=22. Типичная ошибка — считать, что можно взять все числа от 1 до 40: тогда M − a=39 нечётно.
Ответ: а) да, например 1, 3, 5, 7, 9; б) нет; в) 20
Критерии оценивания (4 балла)
- 4
- Верно получены все четыре результата: (1) в п. а приведён пример из 5 чисел (например, 1, 3, 5, 7, 9) с проверкой обоих условий; (2) в п. б доказано, что M − a=2n − 2 чётно, а 25 − 10=15 нечётно; (3) в п. в получена оценка n ≤ 20 из a=42 − 2n ≥ 1; (4) в п. в приведён пример из 20 чисел с наибольшим 40 (например, 2, …, 11, 31, …, 40).
- 3
- Верно получены три результата из четырёх: (1) в п. а приведён пример из 5 чисел (например, 1, 3, 5, 7, 9) с проверкой обоих условий; (2) в п. б доказано, что M − a=2n − 2 чётно, а 25 − 10=15 нечётно; (3) в п. в получена оценка n ≤ 20 из a=42 − 2n ≥ 1; (4) в п. в приведён пример из 20 чисел с наибольшим 40 (например, 2, …, 11, 31, …, 40).
- 2
- Верно получены два результата из четырёх: (1) в п. а приведён пример из 5 чисел (например, 1, 3, 5, 7, 9) с проверкой обоих условий; (2) в п. б доказано, что M − a=2n − 2 чётно, а 25 − 10=15 нечётно; (3) в п. в получена оценка n ≤ 20 из a=42 − 2n ≥ 1; (4) в п. в приведён пример из 20 чисел с наибольшим 40 (например, 2, …, 11, 31, …, 40).
- 1
- Верно получен один результат из четырёх: (1) в п. а приведён пример из 5 чисел (например, 1, 3, 5, 7, 9) с проверкой обоих условий; (2) в п. б доказано, что M − a=2n − 2 чётно, а 25 − 10=15 нечётно; (3) в п. в получена оценка n ≤ 20 из a=42 − 2n ≥ 1; (4) в п. в приведён пример из 20 чисел с наибольшим 40 (например, 2, …, 11, 31, …, 40).
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.