Условие
Каждое из 25 чисел равно 1, 2 или 3, а их среднее арифметическое равно 2,24. а) Может ли среди этих чисел не быть ни одной единицы? б) Может ли количество двоек среди этих чисел быть чётным? в) Найдите наибольшее возможное значение суммы квадратов всех этих чисел.
Подсказка
Обозначьте количества единиц, двоек и троек и запишите два уравнения: на количество и на сумму.
Вычтите одно уравнение из другого — что можно сказать о количестве двоек?
Показать ответ
а) да, например 19 двоек и 6 троек; б) нет; в) 148
Пошаговое решение
- Составляем уравнения
Пусть единиц x, двоек y, троек z. Тогда x + y + z=25 и x + 2y + 3z=25·2,24=56. Вычитая первое равенство из второго, получаем y + 2z=31, а затем x=25 − y − z=25 − (31 − 2z) − z=z − 6.
- Пункт а
Единиц нет, если x=0, то есть z=6, y=31 − 12=19. Набор: 19 двоек и 6 троек — всего 25 чисел, сумма 38 + 18=56, среднее 56/25=2,24. Ответ: да.
- Пункт б
Из y + 2z=31 получаем y=31 − 2z — нечётное число при любом целом z. Значит, двоек всегда нечётное количество. Ответ: нет.
- Пункт в: оценка
Сумма квадратов Q=x + 4y + 9z=(z − 6) + 4(31 − 2z) + 9z=118 + 2z. Она растёт с z. Ограничения: x=z − 6 ≥ 0 и y=31 − 2z ≥ 0, то есть 6 ≤ z ≤ 15. Значит, Q ≤ 118 + 30=148.
- Пункт в: пример и типичная ошибка
z=15, y=1, x=9: 9 единиц, 1 двойка, 15 троек — 25 чисел, сумма 9 + 2 + 45=56, сумма квадратов 9 + 4 + 135=148. Типичная ошибка — взять как можно больше троек без учёта суммы 56 (например, 17 троек уже дают 51 и оставляют 5 на 8 чисел — невозможно).
Ответ: а) да, например 19 двоек и 6 троек; б) нет; в) 148
Критерии оценивания (4 балла)
- 4
- Верно получены все четыре результата: (1) в п. а приведён пример без единиц (19 двоек и 6 троек) с проверкой суммы 56; (2) в п. б из y + 2z=31 доказано, что количество двоек нечётно; (3) в п. в получена оценка суммы квадратов 118 + 2z ≤ 148 при z ≤ 15; (4) в п. в приведён пример 9 единиц, 1 двойка, 15 троек с суммой квадратов 148.
- 3
- Верно получены три результата из четырёх: (1) в п. а приведён пример без единиц (19 двоек и 6 троек) с проверкой суммы 56; (2) в п. б из y + 2z=31 доказано, что количество двоек нечётно; (3) в п. в получена оценка суммы квадратов 118 + 2z ≤ 148 при z ≤ 15; (4) в п. в приведён пример 9 единиц, 1 двойка, 15 троек с суммой квадратов 148.
- 2
- Верно получены два результата из четырёх: (1) в п. а приведён пример без единиц (19 двоек и 6 троек) с проверкой суммы 56; (2) в п. б из y + 2z=31 доказано, что количество двоек нечётно; (3) в п. в получена оценка суммы квадратов 118 + 2z ≤ 148 при z ≤ 15; (4) в п. в приведён пример 9 единиц, 1 двойка, 15 троек с суммой квадратов 148.
- 1
- Верно получен один результат из четырёх: (1) в п. а приведён пример без единиц (19 двоек и 6 троек) с проверкой суммы 56; (2) в п. б из y + 2z=31 доказано, что количество двоек нечётно; (3) в п. в получена оценка суммы квадратов 118 + 2z ≤ 148 при z ≤ 15; (4) в п. в приведён пример 9 единиц, 1 двойка, 15 троек с суммой квадратов 148.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.