Условие
Несколько натуральных чисел (не обязательно различных) таковы, что их произведение равно их сумме. а) Может ли таких чисел быть пять, причём ровно два из них равны 1? б) Может ли таких чисел быть десять, причём ровно одно из них равно 1? в) Таких чисел двадцать. Найдите наибольшее возможное значение наибольшего из них.
Подсказка
Сравните произведение и сумму, если среди чисел мало единиц: какое из них растёт быстрее?
Запишите каждое число, большее 1, в виде 1 + u и раскройте скобки в произведении.
Показать ответ
а) да, например 1, 1, 2, 2, 2; б) нет; в) 20
Пошаговое решение
- Пункт а: пример
Возьмём числа 1, 1, 2, 2, 2: их пять, единиц ровно две, произведение 1·1·2·2·2=8, сумма 1 + 1 + 2 + 2 + 2=8. Ответ: да.
- Пункт б: оценка произведения
Пусть чисел десять, ровно одно равно 1, а остальные девять не меньше 2; наибольшее из них M. Произведение не меньше 2⁸·M=256M (восемь множителей не меньше 2 и множитель M), а сумма не больше 1 + 9M. Так как 256M>9M + 1 при M ≥ 2, произведение больше суммы. Ответ: нет.
- Пункт в: сколько чисел больше 1
Пусть чисел двадцать. Если все они равны 1, то произведение 1, а сумма 20. Если ровно одно число M больше 1, то произведение M, а сумма M + 19. Значит, чисел, больших 1, не меньше двух: обозначим их 1 + u₁, 1 + u₂, …, 1 + u_k, где k ≥ 2, все uᵢ ≥ 1 и u₁ — наибольшее, M=1 + u₁.
- Пункт в: оценка
Сумма всех двадцати чисел равна (20 − k) + (k + u₁ + … + u_k)=20 + Σu. При раскрытии скобок в произведении (1 + u₁)(1 + u₂)…(1 + u_k) получаются 1, все uᵢ, произведение u₁u₂ и другие неотрицательные слагаемые, поэтому произведение не меньше 1 + Σu + u₁u₂. Из равенства произведения и суммы: 1 + Σu + u₁u₂ ≤ 20 + Σu, то есть u₁u₂ ≤ 19. Так как u₂ ≥ 1, получаем u₁ ≤ 19 и M ≤ 20.
- Пункт в: пример и типичная ошибка
18 единиц, числа 2 и 20: произведение 2·20=40, сумма 18 + 2 + 20=40, наибольшее число 20. Типичная ошибка — привести пример и не доказать оценку или в оценке забыть случаи, когда больше единицы не более одного числа.
Ответ: а) да, например 1, 1, 2, 2, 2; б) нет; в) 20
Критерии оценивания (4 балла)
- 4
- Верно получены все четыре результата: (1) в п. а приведён пример пяти чисел с ровно двумя единицами (например, 1, 1, 2, 2, 2) с проверкой; (2) в п. б доказано, что при одной единице произведение не меньше 256M, а сумма не больше 9M + 1; (3) в п. в получена оценка M ≤ 20 из неравенства u₁u₂ ≤ 19 (после разбора случаев с одним числом больше 1); (4) в п. в приведён пример: 18 единиц, 2 и 20 с произведением и суммой 40.
- 3
- Верно получены три результата из четырёх: (1) в п. а приведён пример пяти чисел с ровно двумя единицами (например, 1, 1, 2, 2, 2) с проверкой; (2) в п. б доказано, что при одной единице произведение не меньше 256M, а сумма не больше 9M + 1; (3) в п. в получена оценка M ≤ 20 из неравенства u₁u₂ ≤ 19 (после разбора случаев с одним числом больше 1); (4) в п. в приведён пример: 18 единиц, 2 и 20 с произведением и суммой 40.
- 2
- Верно получены два результата из четырёх: (1) в п. а приведён пример пяти чисел с ровно двумя единицами (например, 1, 1, 2, 2, 2) с проверкой; (2) в п. б доказано, что при одной единице произведение не меньше 256M, а сумма не больше 9M + 1; (3) в п. в получена оценка M ≤ 20 из неравенства u₁u₂ ≤ 19 (после разбора случаев с одним числом больше 1); (4) в п. в приведён пример: 18 единиц, 2 и 20 с произведением и суммой 40.
- 1
- Верно получен один результат из четырёх: (1) в п. а приведён пример пяти чисел с ровно двумя единицами (например, 1, 1, 2, 2, 2) с проверкой; (2) в п. б доказано, что при одной единице произведение не меньше 256M, а сумма не больше 9M + 1; (3) в п. в получена оценка M ≤ 20 из неравенства u₁u₂ ≤ 19 (после разбора случаев с одним числом больше 1); (4) в п. в приведён пример: 18 единиц, 2 и 20 с произведением и суммой 40.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.