ЕГЭ, задание 19: Числа и их свойства

Остаток от деления на 6 определяет остатки от деления на 3 и на 2; как связаны чётности остатков?

Посчитайте, на сколько сумма остатков меньше своего наибольшего значения 19.

1. Связи между остатками

   Обозначим остатки r₃, r₄, r₆, r₁₀. Наибольшая сумма 2 + 3 + 5 + 9 = 19. Так как 3 и 2 делят 6, а 2 делит 4 и 10, то r₆ ≡ r₃ (mod 3) и r₄, r₆, r₁₀ имеют ту же чётность, что и n. Назовём недостачей D = 19 − (сумма).

2. Пункт а: пример

   n = 17: 17 = 3·5 + 2, 17 = 4·4 + 1, 17 = 6·2 + 5, 17 = 10·1 + 7, сумма 2 + 1 + 5 + 7 = 15. Ответ: да.

3. Пункт б: недостача 1 невозможна

   Сумма 18 значит D = 1. Если n чётно, то r₄ ≤ 2, r₆ ≤ 4, r₁₀ ≤ 8 и D ≥ 3. Если n нечётно, то r₄, r₆, r₁₀ нечётны, а наибольшие значения 3, 5, 9 тоже нечётны, поэтому их недостачи чётны; единичная недостача возможна только у r₃: r₃ = 1. Но тогда r₆ ≡ 1 (mod 3) и r₆ нечётно, то есть r₆ = 1, и D ≥ 1 + 4. Ответ: нет.

4. Пункт в: разбираем недостачу 2

   Сумма 17 значит D = 2. Если n чётно, то D ≥ 3. Пусть n нечётно. При r₃ = 1 получаем r₆ = 1 и D ≥ 5; при r₃ = 0 остаток r₆ кратен 3 и нечётен, r₆ = 3, и D ≥ 2 + 2. Значит, r₃ = 2, а r₆ ≡ 2 (mod 3) и нечётно, то есть r₆ = 5. Недостача 2 приходится на r₄ и r₁₀ (оба нечётны): либо r₄ = 1, r₁₀ = 9, либо r₄ = 3, r₁₀ = 7. В первом случае n ≡ 5 (mod 12) и n ≡ 9 (mod 10): из 5, 17, 29 подходит 29. Во втором n ≡ 11 (mod 12) и n ≡ 7 (mod 10): из 11, 23, 35, 47 подходит 47.

5. Ответ и проверка

   Все подходящие n — это 29 и 47 плюс кратные 60, наименьшее 29. Проверка: остатки 29 при делении на 3, 4, 6, 10 равны 2, 1, 5, 9, сумма 17. Типичная ошибка — считать остатки независимыми и искать n ≡ −1 «почти по всем» модулям, получая 47 и пропуская 29.

Ответ: а) да, например 17; б) нет; в) 29

4

Верно получены все четыре результата: (1) обоснованно решён пункт а — пример n = 17 с проверкой четырёх остатков; (2) обоснованно решён пункт б — с учётом связей между остатками доказано, что недостача 1 до суммы 19 невозможна; (3) в пункте в доказана оценка — разобраны все случаи недостачи 2 и показано, что n ≡ 29 или 47 (mod 60); (4) в пункте в приведён пример, на котором оценка достигается, — n = 29 с остатками 2, 1, 5, 9.

3

Верно получены три результата из четырёх. Например, решены пункты а и б и в пункте в приведён пример (n = 29 с остатками 2, 1, 5, 9), но оценка не доказана или доказана с пробелом; либо пункт в решён полностью, а один из пунктов а, б не обоснован.

2

Верно получены два результата из четырёх. Например, обоснованно решены только пункты а и б (пример n = 17 с проверкой четырёх остатков; с учётом связей между остатками доказано, что недостача 1 до суммы 19 невозможна), а в пункте в нет ни доказанной оценки, ни примера; либо в пункте в есть и оценка, и пример, а пункты а и б не решены.

1

Верно получен один результат из четырёх. Например, только обоснованно решён пункт а (пример n = 17 с проверкой четырёх остатков), либо только приведён верный пример в пункте в (n = 29 с остатками 2, 1, 5, 9) без оценки, а остальные пункты не решены или решены неверно.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.