ЕГЭ, задание 19: Числа и их свойства

Какие цифры обязательно есть в записи N, если произведение цифр делится на 5 и на 7?

Единицы не меняют произведения, но увеличивают сумму и количество цифр — а количество цифр важнее всего для величины числа.

1. Раскладываем 1260 на простые множители

   1260 = 2²·3²·5·7, нулей среди цифр нет. Цифра, делящаяся на 5, — только 5; на 7 — только 7. Поэтому среди цифр есть 5 и 7, а произведение остальных цифр равно 1260 : 35 = 36 (ещё могут быть единицы).

2. Пункт а: пример

   36 = 4·9: число 4579 имеет произведение цифр 4·5·7·9 = 1260 и сумму 4 + 5 + 7 + 9 = 25. Ответ: да.

3. Пункт б: наименьшая сумма цифр

   Наборы цифр, больших 1, с произведением 36: 9·4 (сумма 13), 6·6 (12), 2·2·9 (13), 3·3·4 (10), 2·3·6 (11), 2·2·3·3 (10). Единицы сумму только увеличивают. Значит, сумма цифр N не меньше 5 + 7 + 10 = 22 > 20. Ответ: нет.

4. Пункт в: считаем количество цифр

   Остальные цифры должны дать сумму 28 − 12 = 16, недостающее добирается единицами. Набор 9, 4: 2 цифры и 3 единицы — всего 4 + 3 = 7 цифр. 6, 6: 4 единицы — 8 цифр; 2, 2, 9: 3 единицы — 8 цифр; 3, 3, 4: 6 единиц — 11 цифр; 2, 3, 6: 5 единиц — 10 цифр; 2, 2, 3, 3: 6 единиц — 12 цифр. Меньше всего цифр (7) только у набора 1, 1, 1, 4, 5, 7, 9, а число с меньшим количеством цифр меньше.

5. Наименьшее расположение и проверка

   Из цифр 1, 1, 1, 4, 5, 7, 9 наименьшее число получится при записи по возрастанию: 1 114 579. Проверка: произведение 4·5·7·9 = 1260, сумма 3 + 4 + 5 + 7 + 9 = 28. Типичная ошибка — взять набор 6, 6 (11 115 667 — восемь цифр, а не семь) или не учесть, что единицы можно дописывать.

Ответ: а) да, например 4579; б) нет; в) 1114579

4

Верно получены все четыре результата: (1) обоснованно решён пункт а — пример 4579 с проверкой произведения и суммы цифр; (2) обоснованно решён пункт б — доказано, что сумма цифр не меньше 22 (разобраны все наборы с произведением 36); (3) в пункте в доказана оценка — доказано, что N имеет не меньше 7 цифр и единственный 7-значный набор — 1, 1, 1, 4, 5, 7, 9; (4) в пункте в приведён пример, на котором оценка достигается, — число 1 114 579.

3

Верно получены три результата из четырёх. Например, решены пункты а и б и в пункте в приведён пример (число 1 114 579), но оценка не доказана или доказана с пробелом; либо пункт в решён полностью, а один из пунктов а, б не обоснован.

2

Верно получены два результата из четырёх. Например, обоснованно решены только пункты а и б (пример 4579 с проверкой произведения и суммы цифр; доказано, что сумма цифр не меньше 22 (разобраны все наборы с произведением 36)), а в пункте в нет ни доказанной оценки, ни примера; либо в пункте в есть и оценка, и пример, а пункты а и б не решены.

1

Верно получен один результат из четырёх. Например, только обоснованно решён пункт а (пример 4579 с проверкой произведения и суммы цифр), либо только приведён верный пример в пункте в (число 1 114 579) без оценки, а остальные пункты не решены или решены неверно.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.