Условие
Через n! обозначают произведение 1·2·3·…·n. а) Существует ли натуральное n, для которого десятичная запись числа n! оканчивается ровно 31 нулём? б) Существует ли натуральное n, для которого запись числа n! оканчивается ровно 30 нулями? в) Найдите наименьшее n, для которого запись числа n! оканчивается не менее чем 100 нулями.
Подсказка
Сколько раз множитель 5 входит в произведение 1·2·…·n? Учитывайте числа, делящиеся на 25 и на 125.
Сравните сумму [n/5] + [n/25] + … с бесконечной геометрической прогрессией n/5 + n/25 + …
Показать ответ
а) да, например 125; б) нет; в) 405
Пошаговое решение
- Число нулей на конце
Число нулей на конце n! равно показателю, с которым 10 = 2·5 входит в n!. Двоек в n! больше, чем пятёрок, поэтому нулей столько, сколько пятёрок: Z(n) = [n/5] + [n/25] + [n/125] + …, где [x] — целая часть x (слагаемые считают числа до n, кратные 5, 25, 125, …).
- Пункт а: пример
Z(125) = 25 + 5 + 1 = 31. Ответ: да, например n = 125.
- Пункт б: скачок функции Z
Z(n) не убывает с ростом n. Z(124) = 24 + 4 = 28, а число 125 = 5³ добавляет сразу три пятёрки: Z(125) = 31. При n ≤ 124 нулей не больше 28, при n ≥ 125 — не меньше 31. Ровно 30 (и ровно 29) нулей не бывает. Ответ: нет.
- Пункт в: оценка
Z(n) = [n/5] + [n/25] + … < n/5 + n/25 + n/125 + … = n/4. Если Z(n) ≥ 100, то n > 400. Z(400) = 80 + 16 + 3 = 99, а числа 401–404 не делятся на 5, поэтому Z(401) = … = Z(404) = 99.
- Пример и проверка
Z(405) = 81 + 16 + 3 = 100 — запись 405! оканчивается ровно 100 нулями, наименьшее n = 405. Типичная ошибка — ответить 400, посчитав только [400/5] + [400/25] + … без проверки (получается 99), или 500, считая только [n/5] = 100.
Ответ: а) да, например 125; б) нет; в) 405
Критерии оценивания (4 балла)
- 4
- Верно получены все четыре результата: (1) обоснованно решён пункт а — пример n = 125 с подсчётом Z(125) = 31; (2) обоснованно решён пункт б — показан скачок Z(124) = 28, Z(125) = 31 и монотонность числа нулей; (3) в пункте в доказана оценка — доказано, что при n ≤ 404 нулей меньше 100 (оценка Z(n) < n/4 и Z(400) = 99); (4) в пункте в приведён пример, на котором оценка достигается, — n = 405, Z(405) = 100.
- 3
- Верно получены три результата из четырёх. Например, решены пункты а и б и в пункте в приведён пример (n = 405, Z(405) = 100), но оценка не доказана или доказана с пробелом; либо пункт в решён полностью, а один из пунктов а, б не обоснован.
- 2
- Верно получены два результата из четырёх. Например, обоснованно решены только пункты а и б (пример n = 125 с подсчётом Z(125) = 31; показан скачок Z(124) = 28, Z(125) = 31 и монотонность числа нулей), а в пункте в нет ни доказанной оценки, ни примера; либо в пункте в есть и оценка, и пример, а пункты а и б не решены.
- 1
- Верно получен один результат из четырёх. Например, только обоснованно решён пункт а (пример n = 125 с подсчётом Z(125) = 31), либо только приведён верный пример в пункте в (n = 405, Z(405) = 100) без оценки, а остальные пункты не решены или решены неверно.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.