Условие
В классе учатся мальчики и девочки. За контрольную работу каждый ученик получил одну из отметок 2, 3, 4 или 5. Средняя отметка мальчиков оказалась равна 3,4, девочек — 4,1, а всего класса — 3,8. а) Могло ли в классе быть 35 учеников? б) Могло ли мальчиков быть больше, чем девочек? в) Известно, что в классе меньше 40 учеников. Найдите наибольшее возможное количество пятёрок.
Подсказка
Запишите сумму отметок всего класса двумя способами — через средние групп и через среднее класса.
Сумма отметок мальчиков — целое число. Что это означает для количества мальчиков?
Показать ответ
а) да, например 15 мальчиков и 20 девочек; б) нет; в) 21
Пошаговое решение
- Связываем количества
Пусть мальчиков b, девочек g. Сумма отметок класса: 3,4b + 4,1g=3,8(b + g), откуда 0,3g=0,4b, то есть 4b=3g: b=3t, g=4t, всего 7t учеников.
- Пункт а
При 35 учениках t=5: 15 мальчиков с суммой отметок 15·3,4=51 и 20 девочек с суммой 20·4,1=82. Пример: у мальчиков 7 пятёрок и 8 двоек (35 + 16=51), у девочек 14 пятёрок и 6 двоек (70 + 12=82). Средняя по классу (51 + 82)/35=133/35=3,8. Ответ: да.
- Пункт б
Из 4b=3g получаем b=3g/4<g при g>0. Мальчиков всегда меньше. Ответ: нет.
- Пункт в: количество учеников
Сумма отметок мальчиков 3,4·3t=51t/5 — целое число, значит, t делится на 5. При 7t<40 возможно только t=5: 15 мальчиков (сумма 51) и 20 девочек (сумма 82).
- Пункт в: оценка, пример и типичная ошибка
Если у мальчиков u пятёрок, остальные 15 − u отметок не меньше 2: 5u + 2(15 − u) ≤ 51, u ≤ 7. У девочек: 5w + 2(20 − w) ≤ 82, w ≤ 14. Всего пятёрок не больше 21; пример из пункта а даёт ровно 21. Типичная ошибка — оценить пятёрки по средней класса, не разделяя мальчиков и девочек.
Ответ: а) да, например 15 мальчиков и 20 девочек; б) нет; в) 21
Критерии оценивания (4 балла)
- 4
- Верно получены все четыре результата: (1) в п. а приведён пример класса из 35 учеников (15 мальчиков с суммой 51, 20 девочек с суммой 82); (2) в п. б из 4b=3g доказано, что мальчиков меньше, чем девочек; (3) в п. в доказано, что учеников 35, и получена оценка: пятёрок не больше 7 + 14=21; (4) в п. в приведён пример с 21 пятёркой (7 пятёрок и 8 двоек у мальчиков, 14 пятёрок и 6 двоек у девочек).
- 3
- Верно получены три результата из четырёх: (1) в п. а приведён пример класса из 35 учеников (15 мальчиков с суммой 51, 20 девочек с суммой 82); (2) в п. б из 4b=3g доказано, что мальчиков меньше, чем девочек; (3) в п. в доказано, что учеников 35, и получена оценка: пятёрок не больше 7 + 14=21; (4) в п. в приведён пример с 21 пятёркой (7 пятёрок и 8 двоек у мальчиков, 14 пятёрок и 6 двоек у девочек).
- 2
- Верно получены два результата из четырёх: (1) в п. а приведён пример класса из 35 учеников (15 мальчиков с суммой 51, 20 девочек с суммой 82); (2) в п. б из 4b=3g доказано, что мальчиков меньше, чем девочек; (3) в п. в доказано, что учеников 35, и получена оценка: пятёрок не больше 7 + 14=21; (4) в п. в приведён пример с 21 пятёркой (7 пятёрок и 8 двоек у мальчиков, 14 пятёрок и 6 двоек у девочек).
- 1
- Верно получен один результат из четырёх: (1) в п. а приведён пример класса из 35 учеников (15 мальчиков с суммой 51, 20 девочек с суммой 82); (2) в п. б из 4b=3g доказано, что мальчиков меньше, чем девочек; (3) в п. в доказано, что учеников 35, и получена оценка: пятёрок не больше 7 + 14=21; (4) в п. в приведён пример с 21 пятёркой (7 пятёрок и 8 двоек у мальчиков, 14 пятёрок и 6 двоек у девочек).
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.