ЕГЭ, задание 19: Числа и их свойства

Сравните последние цифры N и M: когда сумма N + M может быть нечётной?

В пункте в рассмотрите отдельно вычёркивание первой цифры: тогда M отличается от N только старшим разрядом.

1. Разбираем, какая цифра вычеркнута

   Если вычеркнута не последняя цифра, то N и M оканчиваются одной и той же цифрой, и сумма N + M чётна (последняя цифра суммы — последняя цифра удвоенного числа). Если вычеркнута последняя цифра d, то N = 10M + d и N + M = 11M + d, где 0 ≤ d ≤ 9.

2. Пункт а: строим пример

   654 321 нечётно, поэтому вычёркиваем последнюю цифру: 11M + d = 654 321. Делим с остатком: 654 321 = 11·59 483 + 8, значит, M = 59 483, d = 8, N = 594 838. Проверка: 594 838 + 59 483 = 654 321.

3. Пункт б: доказываем невозможность

   200 001 нечётно, значит, вычеркнута последняя цифра и 11M + d = 200 001. Но 200 001 = 11·18 181 + 10, то есть d ≡ 10 (mod 11), а цифра d от 0 до 9 такой остаток иметь не может. Значит, сумма 200 001 невозможна.

4. Пункт в: оценка

   Если вычеркнута первая цифра d, то N = d·100 000 + M и N + M = d·100 000 + 2M = 543 210. Так как 10 000 ≤ M ≤ 99 999, получаем d = 4 (M = 71 605, N = 471 605) или d = 5 (M = 21 605, N = 521 605). Если вычеркнута не первая цифра, у N и M одна и та же первая цифра a, и 110 000a ≤ N + M < 110 000(a + 1), откуда a = 4. Тогда M < 50 000 и N = 543 210 − M > 493 210 > 471 605.

5. Пример и проверка ответа

   N = 471 605: вычёркиваем первую цифру 4, M = 71 605, сумма 471 605 + 71 605 = 543 210. Наименьшее N = 471 605. Типичная ошибка — считать, что M ≈ N/10, и искать N около 543 210 : 1,1 ≈ 493 827, забыв о вычёркивании первой цифры, при котором M почти равно N.

Ответ: а) да, например 594838; б) нет; в) 471605

4

Верно получены все четыре результата: (1) обоснованно решён пункт а — пример N = 594 838 с вычёркиванием последней цифры и проверкой суммы; (2) обоснованно решён пункт б — доказано, что вычеркнута последняя цифра, и 200 001 даёт остаток 10 при делении на 11; (3) в пункте в доказана оценка — доказано, что N не меньше 471 605 (разбор первой и не первой вычеркнутой цифры); (4) в пункте в приведён пример, на котором оценка достигается, — N = 471 605, M = 71 605.

3

Верно получены три результата из четырёх. Например, решены пункты а и б и в пункте в приведён пример (N = 471 605, M = 71 605), но оценка не доказана или доказана с пробелом; либо пункт в решён полностью, а один из пунктов а, б не обоснован.

2

Верно получены два результата из четырёх. Например, обоснованно решены только пункты а и б (пример N = 594 838 с вычёркиванием последней цифры и проверкой суммы; доказано, что вычеркнута последняя цифра, и 200 001 даёт остаток 10 при делении на 11), а в пункте в нет ни доказанной оценки, ни примера; либо в пункте в есть и оценка, и пример, а пункты а и б не решены.

1

Верно получен один результат из четырёх. Например, только обоснованно решён пункт а (пример N = 594 838 с вычёркиванием последней цифры и проверкой суммы), либо только приведён верный пример в пункте в (N = 471 605, M = 71 605) без оценки, а остальные пункты не решены или решены неверно.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.