Условие
Имеются три кучки камней: в первой 10 камней, во второй 11, в третьей 12. За один ход разрешается взять по одному камню из каких-либо двух непустых кучек и переложить оба этих камня в третью кучку. а) Можно ли через несколько ходов получить в первой кучке 7 камней, во второй 11, а в третьей 15? б) Можно ли через несколько ходов добиться, чтобы в каких-то двух кучках оказалось поровну камней? в) Какое наибольшее число камней может оказаться в одной кучке?
Подсказка
Как меняется остаток каждой кучки при делении на 3 после одного хода?
Сколько всего камней в кучках и что должно случиться с двумя другими кучками, если все камни собраны в одной?
Показать ответ
а) да, например (10; 11; 12) → (9; 10; 14) → (8; 9; 16) → (7; 11; 15); б) нет; в) 32
Пошаговое решение
- Пункт а: пример
(10; 11; 12) → берём по камню из первой и второй кучек: (9; 10; 14) → ещё раз: (8; 9; 16) → берём по камню из первой и третьей, кладём во вторую: (7; 11; 15). Ответ — да.
- Находим инвариант
При ходе две кучки уменьшаются на 1, а третья увеличивается на 2. Увеличение на 2 даёт тот же остаток при делении на 3, что и уменьшение на 1 (2 = 3 − 1). Значит, остатки всех трёх кучек сдвигаются одинаково, и разность любых двух кучек сохраняет остаток при делении на 3. Вначале разности 11 − 10 = 1, 12 − 11 = 1, 12 − 10 = 2 на 3 не делятся.
- Пункт б
Если в двух кучках поровну камней, их разность 0 делится на 3, а по инварианту разности двух кучек на 3 не делятся никогда. Ответ — нет.
- Пункт в: оценка
Общее число камней всегда 10 + 11 + 12 = 33. Если в одной кучке 33 камня, то две другие пусты и равны — это невозможно по п. б. Значит, в двух других кучках разное число камней, их сумма не меньше 0 + 1 = 1, и в любой кучке не больше 33 − 1 = 32 камней.
- Пункт в: пример и типичная ошибка
Десять раз подряд берём по камню из первой и второй кучек (перед каждым ходом обе непусты): (10 − 10; 11 − 10; 12 + 20) = (0; 1; 32). Типичная ошибка — ответ 33 «все камни в одну кучку»: для этого две кучки должны стать равными (пустыми), что запрещает инвариант.
Ответ: а) да, например (10; 11; 12) → (9; 10; 14) → (8; 9; 16) → (7; 11; 15); б) нет; в) 32
Критерии оценивания (4 балла)
- 4
- Верно получены все четыре результата: цепочка ходов до (7; 11; 15) (п. а); доказательство через инвариант разностей по модулю 3, что две кучки не станут равными (п. б); оценка «не больше 32» (п. в); пример ходов, дающий кучку из 32 камней (п. в).
- 3
- Верно получены три результата из четырёх: например, обоснованы пункты а и б и приведён пример (0; 1; 32), но оценка 32 не доказана (не объяснено, почему нельзя 33).
- 2
- Верно получены два результата из четырёх: например, приведён пример для п. а и найден инвариант разностей по модулю 3 с решением п. б, а п. в не решён.
- 1
- Верно получен один результат из четырёх: например, только пример цепочки ходов для п. а или только пример кучки из 32 камней без обоснований.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.