Условие
На доске написано 33 целых числа. Среднее арифметическое всех чисел равно −2, среднее арифметическое положительных чисел равно 5, а среднее арифметическое отрицательных чисел равно −6. а) Может ли среди написанных чисел не быть нулей? б) Может ли положительных чисел быть больше, чем отрицательных? в) Найдите наименьшее возможное количество отрицательных чисел среди написанных.
Подсказка
Обозначьте количества положительных, отрицательных и нулей и запишите сумму всех чисел двумя способами.
Из уравнения в целых числах выясните, чему может равняться количество нулей.
Показать ответ
а) да, например 12 чисел 5 и 21 число −6; б) нет; в) 16
Пошаговое решение
- Составляем уравнение
Пусть положительных чисел p, отрицательных q, нулей z: p + q + z=33. Сумма положительных 5p, отрицательных −6q, всех 33·(−2)=−66, поэтому 5p − 6q=−66. Подставим q=33 − p − z: 5p − 198 + 6p + 6z=−66, то есть 11p + 6z=132.
- Решаем в целых неотрицательных числах
11p=132 − 6z=6(22 − z), значит, 22 − z делится на 11: z=0, 11 или 22. При z=22 получаем p=0, но положительные числа есть (их среднее дано). Остаются z=0: p=12, q=21 и z=11: p=6, q=16.
- Пункт а
z=0: 12 чисел 5 и 21 число −6. Среднее положительных 5, отрицательных −6, сумма 60 − 126=−66, среднее всех −66/33=−2. Ответ: да.
- Пункт б
Возможны только (p; q)=(12; 21) и (6; 16), в обоих случаях положительных меньше. Ответ: нет.
- Пункт в: оценка, пример и типичная ошибка
Количество отрицательных равно 21 или 16, поэтому не меньше 16. Пример: 6 чисел 5, 16 чисел −6 и 11 нулей: сумма 30 − 96=−66, среднее −2. Типичная ошибка — забыть, что нули входят в общее количество 33, но не в положительные и не в отрицательные, и решать без z.
Ответ: а) да, например 12 чисел 5 и 21 число −6; б) нет; в) 16
Критерии оценивания (4 балла)
- 4
- Верно получены все четыре результата: (1) в п. а приведён пример без нулей (12 чисел 5 и 21 число −6) с проверкой средних; (2) в п. б из уравнения 11p + 6z=132 найдены все случаи и показано, что p<q; (3) в п. в получена оценка: количество отрицательных равно 21 или 16, то есть не меньше 16; (4) в п. в приведён пример с 16 отрицательными числами (6 чисел 5, 16 чисел −6, 11 нулей).
- 3
- Верно получены три результата из четырёх: (1) в п. а приведён пример без нулей (12 чисел 5 и 21 число −6) с проверкой средних; (2) в п. б из уравнения 11p + 6z=132 найдены все случаи и показано, что p<q; (3) в п. в получена оценка: количество отрицательных равно 21 или 16, то есть не меньше 16; (4) в п. в приведён пример с 16 отрицательными числами (6 чисел 5, 16 чисел −6, 11 нулей).
- 2
- Верно получены два результата из четырёх: (1) в п. а приведён пример без нулей (12 чисел 5 и 21 число −6) с проверкой средних; (2) в п. б из уравнения 11p + 6z=132 найдены все случаи и показано, что p<q; (3) в п. в получена оценка: количество отрицательных равно 21 или 16, то есть не меньше 16; (4) в п. в приведён пример с 16 отрицательными числами (6 чисел 5, 16 чисел −6, 11 нулей).
- 1
- Верно получен один результат из четырёх: (1) в п. а приведён пример без нулей (12 чисел 5 и 21 число −6) с проверкой средних; (2) в п. б из уравнения 11p + 6z=132 найдены все случаи и показано, что p<q; (3) в п. в получена оценка: количество отрицательных равно 21 или 16, то есть не меньше 16; (4) в п. в приведён пример с 16 отрицательными числами (6 чисел 5, 16 чисел −6, 11 нулей).
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.