Условие
Положительные целые x,y удовлетворяют 7x+11y=300. а) Сколько существует решений? б) Найдите наименьшее значение x+y. в) Найдите наибольшее значение xy.
Подсказка
Шаг 1 для варианта 9: Решите сравнение 7x≡300 (mod 11), затем ограничьте параметр условиями x>0,y>0.
Шаг 2 для варианта 9: Все решения образуют арифметическую последовательность по параметру; функции x+y и xy на ней исследуются как линейная и квадратная.
Показать ответ
а) 4; б) 28; в) 288
Пошаговое решение
- Намечаем ход решения
Решите сравнение 7x≡300 (mod 11), затем ограничьте параметр условиями x>0,y>0. Все решения образуют арифметическую последовательность по параметру; функции x+y и xy на ней исследуются как линейная и квадратная.
- Получаем следующий результат
Из сравнения 7x≡300 (mod 11) и взаимной простоты коэффициентов получаем один класс x modulo 11.
- Выполняем преобразование
После условий x>0,y>0 полный список начинается парой (2, 26) и заканчивается парой (35, 5); соседние пары отличаются на (11,−7).
- Выполняем преобразование
Всего решений 4.
- Проверяем результат
Проверка линейной функции x+y на концах списка даёт минимум 28.
- Выполняем преобразование
Квадратичная функция xy достигает наибольшего значения в ближайшей к вершине допустимой паре; максимум равен 288.
Ответ: а) 4; б) 28; в) 288