Условие
Натуральные x>y удовлетворяют x²−y²=945. а) Сколько существует пар (x,y)? б) Найдите наименьшее возможное значение x+y. в) Укажите пару множителей (x−y, x+y), соответствующую этому минимуму.
Подсказка
Шаг 1 для варианта 8: Положите u=x−y, w=x+y. Тогда uw=945, u<w и u,w одной чётности.
Шаг 2 для варианта 8: Значение x+y — больший множитель; минимизируйте его, выбирая пару делителей ближе всего к квадратному корню.
Показать ответ
а) 8; б) 35; в) 27 и 35
Пошаговое решение
- Формулы сокращённого умножения
Используем (a−b)(a+b)=a²−b² и (a±b)²=a²±2ab+b². Квадрат суммы нельзя заменять суммой квадратов: нужно учесть удвоенное произведение. Сначала упрощаем выражение, затем подставляем числовые данные.
- Намечаем ход решения
Положите u=x−y, w=x+y. Тогда uw=945, u<w и u,w одной чётности. Значение x+y — больший множитель; минимизируйте его, выбирая пару делителей ближе всего к квадратному корню.
- Выполняем преобразование
Имеем (x−y)(x+y)=945.
- Выполняем преобразование
Обратно, каждая пара делителей u<w одной чётности даёт x=(u+w)/2, y=(w−u)/2.
- Выполняем преобразование
Число нечётно, поэтому условие чётности выполнено для всех пар.
- Выполняем преобразование
Полный список пар делителей u<w содержит 8 элементов.
- Выполняем преобразование
Величина x+y=w минимальна у ближайшей к √945 пары 27·35; минимум равен 35.
Ответ: а) 8; б) 35; в) 27 и 35