Условие
Арка моста имеет форму дуги окружности. Расстояние между концами дуги (пролёт арки) равно 16 м, а наибольшая высота арки над отрезком, соединяющим её концы, равна 4 м. Найдите радиус этой окружности в метрах.
Подсказка
Центр окружности лежит на прямой, по которой измеряется высота арки.
Рассмотрите прямоугольный треугольник: радиус, половина пролёта и отрезок R минус высота арки.
После раскрытия скобки R² сократится, останется линейное уравнение.
Показать ответ
10
Пошаговое решение
- Отмечаем центр и прямоугольный треугольник
Центр O окружности лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB между концами дуги — на той же прямой, что и высота арки. Середина M отрезка AB: AM=16:2=8 м. Треугольник OMA прямоугольный, его гипотенуза OA=R.
- Выражаем катет OM через R
Высшая точка арки T лежит на окружности, поэтому OT=R, а OM=OT−MT=R−4.
- Записываем теорему Пифагора
R²=8²+(R−4)². Раскроем скобку: R²=64+R²−8R+16. R² сокращается: 8R=64+16=80.
- Находим радиус и проверяем
R=80:8=10 м. Тогда OM=10−4=6 и 6²+8²=36+64=100=10². Ошибка — брать катетом весь пролёт 16 м вместо его половины.
Ответ: 10