Условие
На ровной площадке стоят два вертикальных столба высотой 5 м и 3 м, расстояние между их основаниями 10 м. На земле на отрезке между основаниями столбов закрепили крюк K и натянули от него тросы к верхушкам обоих столбов. Оказалось, что тросы имеют одинаковую длину. На каком расстоянии (в метрах) от основания более высокого столба находится крюк?
Подсказка
Обозначьте расстояние от крюка до высокого столба через x, до низкого — через разность.
Запишите квадраты длин тросов по теореме Пифагора и приравняйте их.
После раскрытия скобок квадраты неизвестного сократятся.
Показать ответ
4,2
Пошаговое решение
- Вводим неизвестное
Пусть крюк находится на расстоянии x м от основания высокого столба. Тогда до основания низкого столба 10−x м.
- Выражаем квадраты длин тросов
Каждый трос — гипотенуза прямоугольного треугольника «столб — земля — трос». По теореме Пифагора: первый трос в квадрате x²+5²=x²+25, второй (10−x)²+3²=(10−x)²+9.
- Приравниваем и упрощаем
x²+25=(10−x)²+9. Раскроем скобку: (10−x)²=100−20x+x². Слагаемые x² в обеих частях сокращаются: 25=100−20x+9, то есть 20x=109−25=84.
- Находим x и проверяем
x=84:20=4,2 м. Проверка: 4,2²+25=42,64 и 5,8²+9=42,64 — квадраты длин тросов равны. Крюк оказался ближе к высокому столбу: к его верхушке трос поднимается выше, поэтому расстояние по земле должно быть меньше.
Ответ: 4,2