Условие
Два вертикальных столба высотой 12 м и 6 м стоят на ровной земле на расстоянии 9 м друг от друга. От верхушки каждого столба к основанию другого натянута верёвка. На какой высоте (в метрах) над землёй пересекаются верёвки?
Подсказка
Опустите из точки пересечения перпендикуляр на землю и найдите подобные треугольники.
Запишите два отношения y к высотам столбов и сложите их.
Сумма двух отрезков земли равна расстоянию между столбами.
Показать ответ
4
Пошаговое решение
- Вводим обозначения
Пусть верёвки пересекаются в точке P на высоте y. Опустим из P перпендикуляр на землю; его основание делит расстояние 9 м на части: p — до первого столба (высотой 12 м), q — до второго, p+q=9.
- Подобие для первой верёвки
Верёвка от верхушки столба 12 м идёт к основанию второго столба. Треугольник «перпендикуляр y и отрезок q» подобен треугольнику «столб 12 и всё расстояние 9»: y/12=q/9.
- Подобие для второй верёвки
Точно так же для верёвки от верхушки столба 6 м: y/6=p/9.
- Складываем равенства
y/12+y/6=(p+q)/9=1. Значит, y·(1/12+1/6)=1, откуда y=12·6/(12+6)=72/18=4 м.
- Проверяем и замечаем интересное
Из y/12=q/9 находим q=3 м, тогда p=6 м и y/6=2/3=p/9 — верно. Расстояние между столбами в ответ не вошло: высота пересечения от него не зависит.
Ответ: 4