Условие
Два вертикальных столба высотой 15 м и 10 м стоят на ровной земле на расстоянии 20 м друг от друга. От верхушки каждого столба к основанию другого натянута верёвка. На какой высоте (в метрах) над землёй пересекаются верёвки?
Подсказка
Опустите из точки пересечения перпендикуляр на землю и найдите подобные треугольники.
Запишите два отношения y к высотам столбов и сложите их.
Сумма двух отрезков земли равна расстоянию между столбами.
Показать ответ
6
Пошаговое решение
- Вводим обозначения
Пусть верёвки пересекаются в точке P на высоте y. Опустим из P перпендикуляр на землю; его основание делит расстояние 20 м на части: p — до первого столба (высотой 15 м), q — до второго, p+q=20.
- Подобие для первой верёвки
Верёвка от верхушки столба 15 м идёт к основанию второго столба. Треугольник «перпендикуляр y и отрезок q» подобен треугольнику «столб 15 и всё расстояние 20»: y/15=q/20.
- Подобие для второй верёвки
Точно так же для верёвки от верхушки столба 10 м: y/10=p/20.
- Складываем равенства
y/15+y/10=(p+q)/20=1. Значит, y·(1/15+1/10)=1, откуда y=15·10/(15+10)=150/25=6 м.
- Проверяем и замечаем интересное
Из y/15=q/20 находим q=8 м, тогда p=12 м и y/10=3/5=p/20 — верно. Расстояние между столбами в ответ не вошло: высота пересечения от него не зависит.
Ответ: 6