Условие
Муравей ползёт по поверхности закрытой коробки, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда с измерениями 15 см, 3 см и 5 см, из вершины A в противоположную вершину B (см. рисунок). Найдите длину самого короткого пути муравья в сантиметрах.
Подсказка
Разверните две соседние грани в одну плоскость — путь по ним станет отрезком.
Сравните несколько развёрток: через какое ребро переходить выгоднее?
Показать ответ
17
Пошаговое решение
- Разворачиваем грани
Муравей не может пройти сквозь коробку, он ползёт по граням. Путь проходит по двум соседним граням; если развернуть их в одну плоскость (как на развёртке), они образуют прямоугольник, а кратчайший путь по нему — отрезок, его диагональ.
- Выписываем варианты развёртки
В зависимости от того, через какое ребро переходит муравей, прямоугольник имеет стороны 15 и 3+5, 3 и 15+5 или 5 и 15+3. Квадраты диагоналей: 15²+8²=289, 3²+20²=409, 5²+18²=349.
- Выбираем наименьший
Меньше всего 289: переход через длинное ребро 15 см, когда две короткие стороны 3 и 5 складываются. Длина пути √289=17 см.
- Проверяем и разбираем ошибку
Путь пересекает ребро в точке, делящей его в отношении 5:3, и состоит из двух гипотенуз — вместе 17 см. Диагональ самой коробки √259 короче, но идёт внутри неё, муравью она недоступна.
Ответ: 17