Условие
Деревянная заготовка имеет форму прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁, её объём 48 см³. Заготовку распилили плоскостью, проходящей через середины M и N рёбер AB и AC параллельно боковому ребру AA₁ (см. рисунок). Найдите объём большей из получившихся частей в кубических сантиметрах.
Подсказка
Обе части — призмы той же высоты. Сравните площади их оснований.
Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия.
Показать ответ
36
Пошаговое решение
- Смотрим, на какие тела распалась призма
Плоскость распила параллельна боковому ребру, поэтому обе части — прямые призмы той же высоты, что и заготовка: меньшая с основанием AMN, большая с основанием-трапецией MBCN.
- Сводим объёмы к площадям оснований
У призм одной высоты объёмы относятся так же, как площади оснований (V=Sосн·h, высота одна и та же).
- Находим, какую часть площади занимает треугольник AMN
MN — средняя линия треугольника ABC: AM=½·AB, AN=½·AC, угол A общий. Треугольник AMN подобен треугольнику ABC с коэффициентом ½, а площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента: (½)²=¼.
- Считаем большую часть
Меньшая часть — ¼·48=12 см³, большая — всё остальное: 48−12=36 см³, то есть ¾ заготовки.
Ответ: 36