Условие
Деревянная заготовка имеет форму прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁, её объём 36 см³. Заготовку распилили плоскостью, проходящей через середины M и N рёбер AB и AC параллельно боковому ребру AA₁ (см. рисунок). Найдите объём меньшей из получившихся частей в кубических сантиметрах.
Подсказка
Обе части — призмы той же высоты. Сравните площади их оснований.
Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия.
Показать ответ
9
Пошаговое решение
- Смотрим, на какие тела распалась призма
Плоскость распила параллельна боковому ребру, поэтому обе части — прямые призмы той же высоты, что и заготовка: меньшая с основанием AMN, большая с основанием-трапецией MBCN.
- Сводим объёмы к площадям оснований
У призм одной высоты объёмы относятся так же, как площади оснований (V=Sосн·h, высота одна и та же).
- Находим, какую часть площади занимает треугольник AMN
MN — средняя линия треугольника ABC: AM=½·AB, AN=½·AC, угол A общий. Треугольник AMN подобен треугольнику ABC с коэффициентом ½, а площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента: (½)²=¼.
- Считаем
V(части)=¼·36=9 см³. Ошибка — решить, что средняя линия делит призму пополам: половиной была бы 18, но площадь треугольника AMN — четверть, а не половина.
Ответ: 9