Условие
Точки D и E — середины сторон AC и BC треугольника ABC. Площадь четырёхугольника ABED равна 45. Найдите площадь треугольника ABC.
Подсказка
DE — средняя линия; какой коэффициент подобия у треугольников CDE и CAB?
Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия.
Показать ответ
60
Пошаговое решение
- Замечаем среднюю линию
D и E — середины сторон AC и BC, поэтому DE — средняя линия треугольника ABC: DE ∥ AB и DE=AB/2.
- Находим коэффициент подобия
Треугольники CDE и CAB подобны: угол C общий, а CD/CA=CE/CB=1/2. Коэффициент подобия k=1/2.
- Переходим к площадям
Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия: S(CDE)/S(ABC)=k²=1/4. Ошибка — считать, что площадь уменьшилась вдвое, как стороны.
- Считаем
Если S(CDE)=¼·S(ABC), то на четырёхугольник ABED приходится 1−¼=¾ площади: ¾·S(ABC)=45, S(ABC)=45·4/3=60.
- Проверяем
S(CDE)=¼·60=15, и 15+45=60. Ошибка — умножить 45 на 4, будто ABED — четверть треугольника; четверть площади занимает треугольник CDE, а ABED — три четверти.
Ответ: 60