Условие
В прямоугольном треугольнике ABC катеты AC и BC равны 7 и 24. Найдите высоту CH, проведённую к гипотенузе.
Подсказка
Площадь прямоугольного треугольника можно найти через катеты и через гипотенузу с высотой.
Сначала найдите гипотенузу по теореме Пифагора.
Показать ответ
6,72
Пошаговое решение
- Находим гипотенузу
По теореме Пифагора AB²=AC²+BC²=7²+24²=49+576=625, AB=√625=25.
- Записываем площадь двумя способами
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов (один катет — высота к другому): S=½·7·24=84. С другой стороны, CH — высота к стороне AB, поэтому S=½·AB·CH=½·25·CH.
- Находим высоту
Приравниваем: ½·25·CH=84, откуда CH=2·84/25=168/25=6,72. Короче: высота к гипотенузе равна произведению катетов, делённому на гипотенузу.
- Проверяем через отрезки гипотенузы
Катет — среднее пропорциональное между гипотенузой и своей проекцией: AH=AC²/AB=49/25=1,96, HB=BC²/AB=576/25=23,04. Высота — среднее пропорциональное отрезков: CH²=AH·HB=1,96·23,04=45,1584, и 6,72²=45,1584. Совпало.
Ответ: 6,72