Условие
В прямоугольном треугольнике ABC катеты AC и BC равны 15 и 20. Найдите высоту CH, проведённую к гипотенузе.
Подсказка
Площадь прямоугольного треугольника можно найти через катеты и через гипотенузу с высотой.
Сначала найдите гипотенузу по теореме Пифагора.
Показать ответ
12
Пошаговое решение
- Находим гипотенузу
По теореме Пифагора AB²=AC²+BC²=15²+20²=225+400=625, AB=√625=25.
- Записываем площадь двумя способами
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов (один катет — высота к другому): S=½·15·20=150. С другой стороны, CH — высота к стороне AB, поэтому S=½·AB·CH=½·25·CH.
- Находим высоту
Приравниваем: ½·25·CH=150, откуда CH=2·150/25=300/25=12. Короче: высота к гипотенузе равна произведению катетов, делённому на гипотенузу.
- Проверяем через отрезки гипотенузы
Катет — среднее пропорциональное между гипотенузой и своей проекцией: AH=AC²/AB=225/25=9, HB=BC²/AB=400/25=16. Высота — среднее пропорциональное отрезков: CH²=AH·HB=9·16=144, и 12²=144. Совпало.
Ответ: 12