Условие
В треугольнике ABC сторона AB равна 9, угол C острый и cos C=0,8. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC.
Подсказка
Какая теорема связывает сторону, противолежащий угол и радиус описанной окружности?
Сторона AB лежит напротив угла C.
Показать ответ
7,5
Пошаговое решение
- Выбираем теорему
По теореме синусов сторона треугольника, делённая на синус противолежащего угла, равна диаметру описанной окружности: AB/sin C=2R. Сторона AB лежит напротив угла C, поэтому данные подходят.
- Находим sin C
Дан косинус, а нужен синус. По основному тригонометрическому тождеству sin²C=1−cos²C=1−0,8²=1−0,64=0,36, sin C=√0,36=0,6 (синус угла треугольника положителен).
- Вычисляем радиус
2R=9/0,6=15, R=15/2=7,5. Ошибка — забыть разделить на 2 и дать в ответ диаметр.
- Проверяем через центральный угол
Центральный угол AOB вдвое больше острого вписанного угла C, поэтому в равнобедренном треугольнике AOB половина хорды равна R·sin C: 9/2=4,5 и 7,5·0,6=4,5. Совпало.
Ответ: 7,5