Условие
Прямоугольная трапеция с основаниями 12 и 5 и высотой 6 вращается вокруг прямой, содержащей её большее основание. Найдите объём тела вращения, делённый на π.
Подсказка
Разберитесь, что описывает при вращении каждая сторона трапеции.
Тело состоит из цилиндра и конуса с одинаковым радиусом — высотой трапеции.
Показать ответ
264
Пошаговое решение
- Понимаем, какое получилось тело
Боковая сторона, перпендикулярная основаниям (её длина — высота 6), описывает круг радиуса 6. Меньшее основание 5 параллельно оси и описывает боковую поверхность цилиндра. Наклонная боковая сторона описывает боковую поверхность конуса. Тело — цилиндр, к которому приставлен конус.
- Находим размеры частей
Цилиндр: радиус 6, высота 5. Конус: радиус тот же 6, а высота — отрезок оси от конца меньшего основания до вершины: 12−5=7.
- Считаем объём цилиндра
V=πr²h с r=6 и высотой 5: V/π=6²·5=36·5=180.
- Считаем объём конуса
V=(1/3)πr²h с r=6 и высотой 7: V/π=(1/3)·36·7=84.
- Складываем
V/π=180+84=264. Частая ошибка — считать всё тело одним цилиндром длиной 12 или взять за высоту конуса большее основание.
Ответ: 264