Условие
Прямоугольная трапеция с основаниями 9 и 6 и высотой 4 вращается вокруг прямой, содержащей её большее основание. Найдите объём тела вращения, делённый на π.
Подсказка
Разберитесь, что описывает при вращении каждая сторона трапеции.
Тело состоит из цилиндра и конуса с одинаковым радиусом — высотой трапеции.
Показать ответ
112
Пошаговое решение
- Понимаем, какое получилось тело
Боковая сторона, перпендикулярная основаниям (её длина — высота 4), описывает круг радиуса 4. Меньшее основание 6 параллельно оси и описывает боковую поверхность цилиндра. Наклонная боковая сторона описывает боковую поверхность конуса. Тело — цилиндр, к которому приставлен конус.
- Находим размеры частей
Цилиндр: радиус 4, высота 6. Конус: радиус тот же 4, а высота — отрезок оси от конца меньшего основания до вершины: 9−6=3.
- Считаем объём цилиндра
V=πr²h с r=4 и высотой 6: V/π=4²·6=16·6=96.
- Считаем объём конуса
V=(1/3)πr²h с r=4 и высотой 3: V/π=(1/3)·16·3=16.
- Складываем
V/π=96+16=112. Частая ошибка — считать всё тело одним цилиндром длиной 9 или взять за высоту конуса большее основание.
Ответ: 112