Условие
Прямоугольный треугольник с катетами 15 и 20 вращают вокруг прямой, содержащей его гипотенузу. Найдите объём получившегося тела вращения, делённый на π.
Подсказка
При вращении вокруг гипотенузы получаются два конуса с общим основанием.
Радиус основания — высота треугольника к гипотенузе; найдите её через площадь.
Сумма высот двух конусов равна гипотенузе.
Показать ответ
1200
Пошаговое решение
- Понимаем, какое получилось тело
Высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, при вращении описывает круг. Каждый катет описывает боковую поверхность конуса. Получаются два конуса с общим основанием — этим кругом; их вершины — концы гипотенузы.
- Находим гипотенузу
c=√(15²+20²)=√(225+400)=√625=25. Высоты двух конусов в сумме дают гипотенузу.
- Находим радиус общего основания
Радиус — это высота треугольника, проведённая к гипотенузе. Площадь треугольника можно записать двумя способами: ½·15·20=½·25·r, откуда r=15·20/25=12.
- Складываем объёмы двух конусов
V=(1/3)πr²h₁+(1/3)πr²h₂=(1/3)πr²(h₁+h₂)=(1/3)πr²·c. Отдельные высоты h₁ и h₂ знать не нужно.
- Вычисляем
r²=12²=144. V/π=(1/3)·144·25=3600/3=1200.
Ответ: 1200