Условие
Прямоугольный треугольник с катетами 9 и 12 вращают вокруг прямой, содержащей его гипотенузу. Найдите объём получившегося тела вращения, делённый на π.
Подсказка
При вращении вокруг гипотенузы получаются два конуса с общим основанием.
Радиус основания — высота треугольника к гипотенузе; найдите её через площадь.
Сумма высот двух конусов равна гипотенузе.
Показать ответ
259,2
Пошаговое решение
- Понимаем, какое получилось тело
Высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, при вращении описывает круг. Каждый катет описывает боковую поверхность конуса. Получаются два конуса с общим основанием — этим кругом; их вершины — концы гипотенузы.
- Находим гипотенузу
c=√(9²+12²)=√(81+144)=√225=15. Высоты двух конусов в сумме дают гипотенузу.
- Находим радиус общего основания
Радиус — это высота треугольника, проведённая к гипотенузе. Площадь треугольника можно записать двумя способами: ½·9·12=½·15·r, откуда r=9·12/15=7,2.
- Складываем объёмы двух конусов
V=(1/3)πr²h₁+(1/3)πr²h₂=(1/3)πr²(h₁+h₂)=(1/3)πr²·c. Отдельные высоты h₁ и h₂ знать не нужно.
- Вычисляем
r²=7,2²=51,84. V/π=(1/3)·51,84·15=777,6/3=259,2.
Ответ: 259,2