Условие
Прямоугольная трапеция с основаниями 10 и 4 и высотой 3 вращается вокруг прямой, содержащей её большее основание. Найдите объём тела вращения, делённый на π.
Подсказка
Разберитесь, что описывает при вращении каждая сторона трапеции.
Тело состоит из цилиндра и конуса с одинаковым радиусом — высотой трапеции.
Показать ответ
54
Пошаговое решение
- Понимаем, какое получилось тело
Боковая сторона, перпендикулярная основаниям (её длина — высота 3), описывает круг радиуса 3. Меньшее основание 4 параллельно оси и описывает боковую поверхность цилиндра. Наклонная боковая сторона описывает боковую поверхность конуса. Тело — цилиндр, к которому приставлен конус.
- Находим размеры частей
Цилиндр: радиус 3, высота 4. Конус: радиус тот же 3, а высота — отрезок оси от конца меньшего основания до вершины: 10−4=6.
- Считаем объём цилиндра
V=πr²h с r=3 и высотой 4: V/π=3²·4=9·4=36.
- Считаем объём конуса
V=(1/3)πr²h с r=3 и высотой 6: V/π=(1/3)·9·6=18.
- Складываем
V/π=36+18=54. Частая ошибка — считать всё тело одним цилиндром длиной 10 или взять за высоту конуса большее основание.
Ответ: 54