Условие
Прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8 вращают вокруг прямой, содержащей его гипотенузу. Найдите объём получившегося тела вращения, делённый на π.
Подсказка
При вращении вокруг гипотенузы получаются два конуса с общим основанием.
Радиус основания — высота треугольника к гипотенузе; найдите её через площадь.
Сумма высот двух конусов равна гипотенузе.
Показать ответ
76,8
Пошаговое решение
- Понимаем, какое получилось тело
Высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, при вращении описывает круг. Каждый катет описывает боковую поверхность конуса. Получаются два конуса с общим основанием — этим кругом; их вершины — концы гипотенузы.
- Находим гипотенузу
c=√(6²+8²)=√(36+64)=√100=10. Высоты двух конусов в сумме дают гипотенузу.
- Находим радиус общего основания
Радиус — это высота треугольника, проведённая к гипотенузе. Площадь треугольника можно записать двумя способами: ½·6·8=½·10·r, откуда r=6·8/10=4,8.
- Складываем объёмы двух конусов
V=(1/3)πr²h₁+(1/3)πr²h₂=(1/3)πr²(h₁+h₂)=(1/3)πr²·c. Отдельные высоты h₁ и h₂ знать не нужно.
- Вычисляем
r²=4,8²=23,04. V/π=(1/3)·23,04·10=230,4/3=76,8.
Ответ: 76,8