Условие
Площадь полной поверхности цилиндра равна 51. В цилиндр вписан шар: он касается обоих оснований и боковой поверхности цилиндра. Найдите площадь поверхности шара.
Подсказка
Высота цилиндра, описанного около шара, равна диаметру шара.
Выразите обе площади через радиус шара и найдите их отношение.
Показать ответ
34
Пошаговое решение
- Выражаем размеры цилиндра через радиус шара
Шар касается боковой поверхности, поэтому радиус цилиндра равен радиусу шара R. Шар касается обоих оснований, поэтому высота цилиндра равна диаметру шара: h=2R.
- Находим полную поверхность цилиндра
S цилиндра=2πR²+2πR·h=2πR²+2πR·2R=2πR²+4πR²=6πR² (два круга-основания и боковая поверхность).
- Сравниваем с поверхностью шара
S шара=4πR². Отношение 6πR²:4πR²=3/2 не зависит от R, поэтому радиус находить не нужно. Любопытно, что боковая поверхность цилиндра 4πR² равна поверхности шара — это открыл Архимед.
- Вычисляем
S шара=S цилиндра·2/3=51·2/3=34. Не путайте полную поверхность с боковой: боковая равна поверхности шара.
Ответ: 34