Условие
Найдите значение выражения 2^(3√7−1)·8^(1−√7).
Подсказка
Запишите большее основание как степень меньшего.
При возведении степени в степень показатели перемножаются — раскройте скобки в показателе.
Сложите (или вычтите) показатели: слагаемые с корнем должны сократиться.
Показать ответ
4
Пошаговое решение
- Понимаем, почему нельзя считать степени по отдельности
Каждая степень, например 2^(3√7−1), — «некрасивое» иррациональное число: √7 не извлекается нацело, и приближённые вычисления дали бы неточный ответ. Поэтому преобразуем всё выражение, чтобы корни в показателях сократились.
- Приводим к одному основанию
8=2³, поэтому по правилу (a^m)^n=a^(m·n): 8^(1−√7)=(2³)^(1−√7)=2^(3·(1−√7))=2^(3−3√7). Теперь в выражении обе степени с основанием 2.
- Объединяем показатели
Для умножения степеней с одинаковым основанием действует правило a^m·a^n=a^(m+n). Показатель результата: (3√7−1)+(3−3√7)=3√7−3√7−1+3=2. Слагаемые с √7 взаимно уничтожились.
- Вычисляем степень
Осталось 2²=4. Обратите внимание: при умножении степеней одного основания показатели складываются, а не перемножаются.
Ответ: 4