Условие
Найдите значение выражения 8(sin⁴α−cos⁴α), если cos 2α=0,35.
Подсказка
Запишите четвёртые степени как квадраты квадратов.
Разложите разность квадратов и вспомните, чему равна сумма sin²α+cos²α.
Оставшуюся разность квадратов синуса и косинуса выразите через данное в условии значение.
Показать ответ
-2,8
Пошаговое решение
- Узнаём разность квадратов
Четвёртая степень — это квадрат квадрата: sin⁴α=(sin²α)², cos⁴α=(cos²α)². Значит, в скобках стоит разность квадратов, и её можно разложить по формуле x²−y²=(x−y)(x+y).
- Раскладываем на множители
sin⁴α−cos⁴α=(sin²α−cos²α)(sin²α+cos²α).
- Применяем основное тригонометрическое тождество
sin²α+cos²α=1, поэтому второй множитель равен 1 и выражение в скобках равно sin²α−cos²α.
- Выражаем через данное значение
sin²α−cos²α=−(cos²α−sin²α)=−cos 2α.
- Вычисляем
8·(−cos 2α)=−8·0,35=−2,8. Возводить в четвёртую степень не пришлось.
Ответ: -2,8