Условие
Найдите значение выражения 5(cos⁴α−sin⁴α), если cos α=0,6.
Подсказка
Запишите четвёртые степени как квадраты квадратов.
Разложите разность квадратов и вспомните, чему равна сумма sin²α+cos²α.
Оставшуюся разность квадратов синуса и косинуса выразите через данное в условии значение.
Показать ответ
-1,4
Пошаговое решение
- Узнаём разность квадратов
Четвёртая степень — это квадрат квадрата: sin⁴α=(sin²α)², cos⁴α=(cos²α)². Значит, в скобках стоит разность квадратов, и её можно разложить по формуле x²−y²=(x−y)(x+y).
- Раскладываем на множители
cos⁴α−sin⁴α=(cos²α−sin²α)(cos²α+sin²α).
- Применяем основное тригонометрическое тождество
sin²α+cos²α=1, поэтому второй множитель равен 1 и выражение в скобках равно cos²α−sin²α.
- Выражаем через данное значение
sin²α=1−cos²α, поэтому cos²α−sin²α=cos²α−(1−cos²α)=2cos²α−1=2·0,36−1=−0,28.
- Вычисляем
5·(−0,28)=−1,4. Возводить в четвёртую степень не пришлось.
Ответ: -1,4