Условие
Решите уравнение tg(πx/4)=−1. В ответе напишите наименьший положительный корень.
Подсказка
Решите сначала уравнение tg t = число, где t — выражение в скобках.
Серия решений тангенса одна, её шаг — π.
Выпишите несколько корней подряд и выберите нужный.
Показать ответ
3
Пошаговое решение
- Решаем уравнение для аргумента
Обозначим t=πx/4. tg t=−1 при t=−π/4+πn, n — целое. В отличие от косинуса здесь одна серия: период тангенса равен π, а не 2π.
- Выражаем x
πx/4=−π/4+πn. Умножаем обе части на 4/π: x=−1+4n.
- Перебираем значения n
n=−1: −5, n=0: −1, n=1: 3, n=2: 7. Корни идут с шагом 4; наименьшее из положительных значений — 3.
- Проверяем
При x=3 аргумент равен 3π/4=−π/4+π, а тангенс не меняется при сдвиге на π, поэтому tg(3π/4)=tg(−π/4)=−1.
Ответ: 3