Условие
Решите уравнение tg(π(x+3)/3)=−√3. В ответе напишите наименьший положительный корень.
Подсказка
Решите сначала уравнение tg t = число, где t — выражение в скобках.
Серия решений тангенса одна, её шаг — π.
Выпишите несколько корней подряд и выберите нужный.
Показать ответ
2
Пошаговое решение
- Решаем уравнение для аргумента
Обозначим t=π(x+3)/3. tg t=−√3 при t=−π/3+πn, n — целое. В отличие от косинуса здесь одна серия: период тангенса равен π, а не 2π.
- Выражаем x
π(x+3)/3=−π/3+πn. Умножаем обе части на 3/π: x+3=−1+3n, откуда x=−4+3n.
- Перебираем значения n
n=−1: −7, n=0: −4, n=1: −1, n=2: 2. Корни идут с шагом 3; наименьшее из положительных значений — 2.
- Проверяем
При x=2 аргумент равен 5π/3=−π/3+2π, а тангенс не меняется при сдвиге на π, поэтому tg(5π/3)=tg(−π/3)=−√3.
Ответ: 2