Условие
Решите уравнение cos(π(x−3)/6)=−1/2. В ответе напишите наименьший положительный корень.
Подсказка
Сначала решите уравнение cos t = число, а потом выразите x через t.
У косинуса две серии решений — рассмотрите обе.
Подставляйте n = 0, 1, −1, … и выбирайте нужное значение.
Показать ответ
7
Пошаговое решение
- Решаем простейшее уравнение относительно аргумента
Обозначим t=π(x−3)/6. cos t=−1/2 при t=±2π/3+2πn, n — целое. Знак ± нужен потому, что на единичной окружности косинус −1/2 имеют две точки, симметричные относительно оси абсцисс.
- Выражаем x
π(x−3)/6=±2π/3+2πn. Умножаем на 6/π: x−3=±4+12n. Получаем две серии: x=7+12n и x=−1+12n.
- Перебираем значения n
Первая серия: n=0: 7, n=1: 19. Вторая серия: n=0: −1, n=1: 11. Из положительных значений наименьшее — 7; оно из первой серии.
- Проверяем
При x=7 аргумент равен 2π/3, а cos(2π/3)=−1/2.
Ответ: 7