Условие
Число называют палиндромом, если оно одинаково читается слева направо и справа налево. Найдите наибольшее шестизначное число-палиндром, кратное 75.
Подсказка
75=3·25. Какими двумя цифрами может оканчиваться число, кратное 25?
Последняя цифра палиндрома совпадает с первой — может ли она быть нулём?
Сумма цифр палиндрома abccba — это удвоенная сумма a+b+c.
Показать ответ
579975
Пошаговое решение
- Записываем палиндром через цифры
Шестизначный палиндром имеет вид abccba, сумма цифр 2(a+b+c).
- Применяем признак делимости на 25
75=3·25, числа 3 и 25 взаимно просты. Число делится на 25, если оканчивается на 00, 25, 50 или 75. Последняя цифра a — она же первая, поэтому нулём быть не может: окончания 00 и 50 не подходят. Остаются окончания «ba»=25 (a=5, b=2) и «ba»=75 (a=5, b=7).
- Применяем признак делимости на 3
Сумма цифр 2(5+b+c) делится на 3, когда 5+b+c делится на 3 (числа 2 и 3 взаимно просты).
- Делаем число наибольшим
Первая цифра в обоих случаях 5, поэтому берём большую вторую цифру b=7. Тогда 5+7+c=12+c делится на 3 при c=0, 3, 6 или 9. Наибольшее c=9, получаем 579975.
- Проверяем
5+7+9+9+7+5=42 делится на 3, окончание 75 делится на 25, 579975:75=7733.
Ответ: 579975