Условие
Найдите наименьшее натуральное число, у которого ровно 12 натуральных делителей (включая единицу и само число).
Подсказка
Количество делителей числа p^a·q^b равно (a+1)(b+1).
Разложите 12 на множители всеми способами.
Большие показатели степени выгоднее давать маленьким простым числам.
Показать ответ
60
Пошаговое решение
- Вспоминаем, как считать делители
Если n=p₁^a·p₂^b·…, где p₁, p₂, … — разные простые числа, то любой делитель имеет вид p₁^x·p₂^y·…, где x от 0 до a, y от 0 до b и т. д. Поэтому количество делителей равно (a+1)(b+1)…
- Раскладываем число делителей на множители
Нужно (a+1)(b+1)…=12. Перебираем разложения 12 на множители, большие 1. Чтобы число было наименьшим, большие показатели отдаём меньшим простым числам: 2, затем 3, затем 5.
- Выписываем кандидатов
12=12 → 2¹¹=2048; 12=6·2 → 2⁵·3=96; 12=4·3 → 2³·3²=72; 12=3·2·2 → 2²·3·5=60.
- Выбираем наименьшее и проверяем
Наименьший кандидат — 60=2²·3·5. Его делители: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 — ровно 12 штук.
Ответ: 60