Условие
Число называют палиндромом, если оно одинаково читается слева направо и справа налево (например, 12321). Найдите наименьшее пятизначное число-палиндром, делящееся на 45.
Подсказка
Запишите пятизначный палиндром как abcba.
Последняя цифра палиндрома совпадает с первой — может ли она быть нулём?
Сумма цифр должна делиться на 9.
Показать ответ
50805
Пошаговое решение
- Записываем палиндром через цифры
Пятизначный палиндром имеет вид abcba: первая цифра равна последней, вторая — четвёртой.
- Применяем признак делимости на 5
45=5·9, числа 5 и 9 взаимно просты. Последняя цифра a равна 0 или 5. Но a — ещё и первая цифра, нулём она быть не может. Значит, a=5, и число имеет вид 5bcb5.
- Применяем признак делимости на 9
Сумма цифр 5+b+c+b+5=10+2b+c должна делиться на 9. Для наименьшего числа берём наименьшее b=0: 10+c делится на 9 при c=8 (сумма 18).
- Проверяем
Получаем 50805. Сумма цифр 5+0+8+0+5=18, 50805:45=1129. Меньше быть не может: первые две цифры 5 и 0 наименьшие возможные, а при b=0 подходит только c=8.
Ответ: 50805