Условие
Найдите наименьшее натуральное число, у которого ровно 10 натуральных делителей (включая единицу и само число).
Подсказка
Количество делителей числа p^a·q^b равно (a+1)(b+1).
Разложите 10 на множители всеми способами.
Большие показатели степени выгоднее давать маленьким простым числам.
Показать ответ
48
Пошаговое решение
- Вспоминаем, как считать делители
Если n=p₁^a·p₂^b·…, где p₁, p₂, … — разные простые числа, то любой делитель имеет вид p₁^x·p₂^y·…, где x от 0 до a, y от 0 до b и т. д. Поэтому количество делителей равно (a+1)(b+1)…
- Раскладываем число делителей на множители
Нужно (a+1)(b+1)…=10. Перебираем разложения 10 на множители, большие 1. Чтобы число было наименьшим, большие показатели отдаём меньшим простым числам: 2, затем 3, затем 5.
- Выписываем кандидатов
10=10 → 2⁹=512; 10=5·2 → 2⁴·3=48.
- Выбираем наименьшее и проверяем
Наименьший кандидат — 48=2⁴·3. Его делители: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48 — ровно 10 штук.
Ответ: 48