Условие
Наибольший общий делитель двух натуральных чисел равен 5, а их наименьшее общее кратное равно 210. Одно из чисел равно 35. Найдите другое число.
Подсказка
Как связаны произведение двух чисел, их НОД и НОК?
Проверьте ответ, разложив оба числа на простые множители.
Показать ответ
30
Пошаговое решение
- Вспоминаем связь НОД и НОК
Для любых двух натуральных чисел a и b верно: НОД(a; b)·НОК(a; b)=a·b. Почему: в разложении на простые множители НОД берёт каждое простое число в меньшей из двух степеней, а НОК — в большей, и вместе меньшая и большая степени дают сумму степеней, как в произведении a·b.
- Находим второе число
5·210=35·b, то есть 1050=35·b, откуда b=1050:35=30.
- Проверяем через разложения
35=5·7, 30=2·3·5. Степени простых множителей у 2: в 35 степень 0, в 30 — 1; у 3: в 35 степень 0, в 30 — 1; у 5: в 35 степень 1, в 30 — 1; у 7: в 35 степень 1, в 30 — 0. Меньшие степени дают НОД=5, большие — НОК=2·3·5·7=210.
- Разбираем типичную ошибку
Нельзя просто разделить НОК на данное число: 210:35=6, но НОД(35; 6)=1, а не 5. Нужно пользоваться именно равенством НОД·НОК=a·b.
Ответ: 30