Условие
Наибольший общий делитель двух натуральных чисел равен 12, а их наименьшее общее кратное равно 360. Одно из чисел равно 36. Найдите другое число.
Подсказка
Как связаны произведение двух чисел, их НОД и НОК?
Проверьте ответ, разложив оба числа на простые множители.
Показать ответ
120
Пошаговое решение
- Вспоминаем связь НОД и НОК
Для любых двух натуральных чисел a и b верно: НОД(a; b)·НОК(a; b)=a·b. Почему: в разложении на простые множители НОД берёт каждое простое число в меньшей из двух степеней, а НОК — в большей, и вместе меньшая и большая степени дают сумму степеней, как в произведении a·b.
- Находим второе число
12·360=36·b, то есть 4320=36·b, откуда b=4320:36=120.
- Проверяем через разложения
36=2²·3², 120=2³·3·5. Степени простых множителей у 2: в 36 степень 2, в 120 — 3; у 3: в 36 степень 2, в 120 — 1; у 5: в 36 степень 0, в 120 — 1. Меньшие степени дают НОД=2²·3=12, большие — НОК=2³·3²·5=360.
- Разбираем типичную ошибку
Нельзя просто разделить НОК на данное число: 360:36=10, но НОД(36; 10)=2, а не 12. Нужно пользоваться именно равенством НОД·НОК=a·b.
Ответ: 120