Условие
Трёхзначное число в 15 раз больше суммы своих цифр. Найдите это число.
Подсказка
Запишите число как 100a+10b+c и перенесите слагаемые.
Какие слагаемые полученного равенства делятся на 5? Что отсюда следует для цифры единиц?
Оцените цифру сотен по наибольшему значению правой части.
Показать ответ
135
Пошаговое решение
- Записываем условие через цифры
Число abc равно 100a+10b+c, условие: 100a+10b+c=15(a+b+c).
- Упрощаем равенство
100a+10b+c=15a+15b+15c, откуда 85a=5b+14c.
- Замечаем делимость на 5
85a и 5b делятся на 5, значит, и 14c делится на 5. Так как 14 и 5 взаимно просты, c делится на 5: c=0 или c=5.
- Перебираем варианты
Правая часть не больше 5·9+14·9=171, поэтому 85a≤171 и a=1 или a=2. При c=0: 5b=85a, b=17a — не цифра. При c=5: 5b=85a−70; для a=1 получаем 5b=15, b=3; для a=2 — 5b=100, b=20 не цифра. Остаётся a=1, b=3, c=5: число 135.
- Проверяем
Сумма цифр 1+3+5=9, а 15·9=135. Других решений перебор не дал.
Ответ: 135